Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
mit einem Polynom p(x) möglichst exakt integrieren. Die Funktion ω(x) nennen wir Gewichtsfunktion.
Diese Gewichtsfunktion fließt nun in das Konstruktionsprinzip von speziellen
Gauß-Quadraturformeln ein. Zunächst formulieren wir den hierfür zentralen Satz:
Satz 3.66 (Gewichtetes Skalarprodukt). Durch ω ∈ L ∞ ([−1, 1]) sei eine positive
ω(x) > 0
fast überall,
Gewichtsfunktion gegeben. Dann ist durch
ein Skalarprodukt gegeben.
Beweis: Übung!
(f, g) ω :=
∫ 1
−1
ω(x) f(x) g(x) dx,
Die bisher bewiesenen Sätze 3.56, 3.57, 3.58, 3.59 sowie 3.61 gelten alle auch bei Verwendung
dieses gewichteten Skalarprodukts. Das Übertragen der Beweise überlassen wir als
Übung. Die Gauß-Tschebyscheff Quadratur wählt als spezielles Gewicht die Funktion
ω(x) =
1
√
1 − x 2 .
Diese Funktion legt ein starkes Gewicht auf die beiden Intervallenden. Es gilt der folgende
zunächst erstaunliche Satz:
Satz 3.67 (Tschebyscheff-Polynome). Die Tschebyscheff-Polynome T n ∈ P n mit
T n (x) := cos(n arccos x), −1 ≤ x ≤ 1,
sind die bezüglich des (·, ·) ω Skalarprodukts orthogonalisierten Monome {1, x, . . . } mit der
Gewichtsfunktion
1
ω(x) = √ . 1 − x 2
Die n paarweise verschiedenen Nullstellen des n-ten Tschebyscheff-Polynoms T n (x) sind
gegeben durch
( ) 2k + 1
x k = cos
2n π , k = 0, . . . , n − 1.
Beweis: (i) Wir müssen zunächst nachweisen, dass durch T n (x) überhaupt Polynome
gegeben sind. Wir führen den Beweis induktiv durch Herleiten einer Iterationsformel. Es
gilt:
T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x,
also insbesondere T 0 ∈ P 0 und T 1 ∈ P 1 . Aus dem Additionstheorem für die Kosinusfunktion
cos((n + 1)y) + cos((n − 1)y) = 2 cos(nt) cos(y),
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