Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken
6.4 Ein Beispiel
Wir werden mit einem Beispiel den Diskretisierungsansatz prüfen. Als Beispiel wollen wir
eine Funktion f(x) sowie einen Materialparameter µ so wählen, dass wir die exakte Lösung
y(x) analytisch bestimmen können. So können wir die numerischen Approximationen
y h sowie y n auf ihre Genauigkeit überprüfen. Da nichtlineare Differentialgleichungen im
Allgemeinen nicht einfach analytisch gelöst werden können, gehen wir hier umgekehrt vor:
wir wählen eine gewünschte Lösung y(x) und bestimmen durch Einsetzen in die Differentialgleichung
(6.3) die zugehörige rechte Seite f(x). Wir wählen µ = 1 und bestimmen die
Lösung y(x) als y(x) = sin(2πx). Diese Lösung erfüllt die Randdaten y(0) = y(1) = 0. Es
gilt:
y ′′ (x)
4 sin(2πx)π 2
f(x) =
= −
.
(1 + y ′ (x) 2 ) 3 2 (1 + 4 cos(2πx) 2 π 2 ) 3 2
Im folgenden bestimmen wir die zugehörigen Approximationen y n sowie y h jeweils bei
Unterteilung des Intervalls I = [0, 1] in n = 4 bzw. in n = 8 Teilintervalle.
6.4.1 Globaler Polynomansatz
Wir starten das Newton-Verfahren mit der Anfangsnäherung y 0 = 0, da keine bessere
Näherung bekannt ist. Im Folgenden führen wir solange Newton-Schritte y 1 , y 2 , . . . durch,
bis ein Newton-Residuum |F (y t )| < 10 −6 erreicht wird.
• Schritt 1. Es gilt für n = 4 sowie n = 8 bei y 0 = 0:
‖F 4 (y 0 )‖ ≈ 10, ‖F 8 (y 0 )‖ ≈ 30.
Die beiden Einträge F 0 = F 8 = 0 sind Null, da hier die Gleichung einfach durch
y 0 = y n = 0 gegeben ist. Diese ist bereits erfüllt. Im nächsten Schritt berechnen wir
die Jacobimatrix A 0 := f ′ (y 0 ):
⎛
⎞
1 0 0 0 0
14.67 −26.67 8 5.33 −1.33
A n=4 =
−1.33 21.33 −40 21.33 −1.33
,
⎜
⎟
⎝−1.33 5.33 8 −26.67 14.67 ⎠
0 0 0 0 1
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