Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Schließlich erhalten wir:
⎛
⎞
−2 −2.38 −5.29
˜R = Ã(3) 0 2.22 5.04
≈ ⎜
⎟
⎝ 0 0 1.34 ⎠ .
0 0 0
Zum Lösen des Ausgleichsystems:
A T Ax = A T b ⇔ Rx = ˜b,
bestimmen wir zunächst die rechte Seite nach der Vorschrift b (i) = b (i−1) −2(b (i−1) , v (i) )v (i) :
⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
˜b = ⎝ 0.28 ⎠ .
−0.155
Abschließend lösen wir durch Rückwärtseinsetzen Rx = ˜b (3) :
⎛ ⎞
0.342
⎜ ⎟
˜x ≈ ⎝ 0.390 ⎠
−0.116
und erhalten das Interpolationspolynom:
mit Defekt
p(x) = 0.342 + 0.39x − 0.116x 2 ,
‖b − A˜x‖ ≈ 0.947,
und relativem Fehler zur exakten Least-Squares-Lösung:
‖˜x − x‖
‖x‖
≈ 0.01,
d.h., ein Fehler von etwa einem 1% anstelle von fast 20% beim direkten Lösen des Normalsystems.
In Abbildung 4.3 zeigen wir die exakte Lösung sowie die beiden Approximierten
Lösungen zu diesem Beispiel.
Die in Abschnitt 3.6.1 betrachtete diskrete Gauss-Approximation ist eine Anwendung der
Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Die lineare Ausgleichsrechnung ist ein Spezialfall
mit Matrizen A ∈ R n×2 .
4.6 Berechnung von Eigenwerten
In diesem Abschnitt befassen wir uns mit dem Eigenwertproblem: zu gegebener Matrix
A ∈ R n×n sind die Eigenwerte (und gegebenenfalls Eigenvektoren) gesucht. Wir erinnern
an Definition 4.9 und formulieren
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