Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken
6.1 Modellierung eines elastischen Balkens
In Abbildung 6.1 zeigen wir zunächst die Konfiguration. Ein Balken mit Länge L = 1 (im
Ruhezustand) ist auf beiden Seiten eingespannt. Unter Einwirkung eines Biegemoments f
wird der Balken ausgelenkt. Dabei bezeichnen wir mit y(x) die Deformation der Mittellinie
in jedem Punkt x ∈ [0, 1] des undeformierten Balkens. Dabei gilt stets y(0) = y(1) = 0
aufgrund der Einspannung. Die Biegung eines Balkens kann in jedem Punkt durch den
Krümmungsradius ρ := ρ(x) gekennzeichnet werden. Der Krümmungsradius ist der Radius
desjenigen Kreises, der in (x, y(x)) die Mittellinie des Balkens bei gleicher Krümmung
berührt, siehe Abbildung 6.2.
Die Krümmung erzeugt eine Dehnung ɛ := δe/e, welche die relative Längenänderung einer
Balkenlinie angibt, die radial von der Mittellinie verschoben ist, siehe Abbildung 6.2 Mitte.
Für eine Linie, die um y verschoben ist, gilt mit dem Strahlensatz:
ρ + y
ρ
= e + δe
e
⇔
y ρ = δe
e . (6.1)
Das Hooke’sche Gesetz besagt, dass die Dehnung ɛ eines Balkens proportional zur Deformation
y und der einwirkenden Kraft f ist:
ɛ = µfy,
wobei µ ∈ R ein Parameter ist, der die Materialeigenschaften des Balkens beschreibt (die
Biegesteifigkeit). Aus dem Zusammenhang zwischen Dehnung und Krümmungsradius (6.1)
folgt:
µf = 1 ρ . (6.2)
Schließlich werden wir den Krümmungsradius ρ(x) lokal durch die Deformation y(x) ausdrücken.
Siehe hierzu die rechte Skizze in Abbildung 6.2. Zunächst gilt aus geometrischen
Überlegungen einerseits den Anstiegswinkel
sowie für die Bogenlänge:
δs = δα =
√
δx 2 + δy 2 = δx
tan(α) = δy
δx ,
√
1 + δy2
δx 2 ⇒ δα
δx = √
1 +
( ) δy 2
.
δx
Wir betrachten alle Änderungen δx sowie δy und δα als infinitesimal. D.h., es gilt
δy 2
δx 2 = ∂2
∂ 2 x y(x) = ∂ δy
∂x δx
= ∂
∂x tan(α) = (1 + tan2 (α)) ∂α
∂x
= (1 + tan 2 (α)) δα
=
(
1 +
δx
( ) )
δy
2
δα
δx δx
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