Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Die Euler-Maclaurinsche Summenformel besagt, dass die Trapezregel eine Entwicklung in
geraden Potenzen von h besitzt. Daher eignet sie sich gleich in zweifacher Hinsicht optimal
zur Extrapolation: aufgrund der quadratischen Fehlerentwicklung gewinnen wir in jedem
Extrapolationsschritt zwei Ordnungen Genauigkeit und aufgrund der Stützstellenwahl an
den Enden der Teilintervalle x j−1 und x j können bereits berechnete Werte f(x j ) zu einer
Schrittweite h bei der nächst feineren Approximation zu h/2 weiter verwendet werden.
Zur Approximation von
a(0) ≈
∫ b
a
f(x) dx,
⎛
⎞
a(h) := I h (f) = h ⎝ 1 N−1
2 f(a) + ∑
f(x j ) + 1 2 f(b) ⎠ ,
verwenden wir das Extrapolationsprinzip aus Abschnitt 3.4:
j=1
Verfahren 3.74 (Romberg-Quadratur).
1) Berechne für eine Folge von Schrittweiten (h k ) k∈N mit
h k+1
h k
≤ ρ < 1,
die Approximationen
a(h k ), k = 0, . . . , m.
2) Extrapoliere die Werte (h 2 k , a(h k)), k = 0, . . . , m mit Polynomen in h 2 .
Als Schrittweitenfolge kann mit einem h > 0 die einfache Vorschrift
h k = 2 −k h,
verwendet werden. Diese Folge wird Romberg-Folge genannt und hat den Vorteil, dass
bereits berechnete Stützstellen weiter verwendet werden können. Der Nachteil dieser Folge
ist das schnelle Wachstum der Anzahl der Stützstellen. Die Extrapolation selbst wird mit
dem modifizierten Neville-Schema 3.33 durchgeführt.
Die Diagonalelemente a k,k sind gerade die Näherungen zu a(0). Basierend auf Satz 3.32
zur allgemeinen Richardson-Extrapolation erhalten wir die Fehlerabschätzung:
Satz 3.75 (Romberg-Quadratur). Es sei f 2m+2 [a, b] sowie h > 0 gegeben. Das Romberg-
Verfahren zur Schrittweitenfolge h k = 2 −k h, k = 0, . . . , m liefert nach m Extrapolationsschritten
die Approximation:
I(f) − a m,m = O(h 2m+2 ).
Beweis: Der Beweis folgt durch Kombination von Satz 3.32 über die Richardson-Extrapolation
mit der Euler-Maclaurinschen Summenformel aus Satz 3.73.
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