Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
Auf den ersten Blick sieht à nach einer brauchbaren Näherung für A aus. Der relative
Fehler ‖ ˜Q ˜R − A‖ 2 /‖A‖ 2 ≈ 0.004 ist (beachte dreistellige Arithmetik) nicht sonderlich
groß. Ã ist jedoch nicht einmal regulär! Dieser wesentliche Fehler liegt an der Instabilität
des Gram-Schmidt-Verfahrens. Für das berechnete ˜Q gilt:
⎛
⎞
I = ! ˜Q
1 −0.00707 0
T ⎜
⎟
˜Q ≈ ⎝−0.00707 1 0.707⎠ ,
0 0.707 1
mit einem relativen Fehler ‖ ˜Q T ˜Q − I‖2 ≈ 0.7!
Die QR-Zerlegung hat prinzipiell bessere Stabilitätseigenschaften als die LR-Zerlegung.
Das Gram-Schmidt-Verfahren eignet sich jedoch nicht, um die orthogonale Matrix Q zu
erstellen. Im Folgenden entwickeln wir eine Transformationsmethode zum Erstellen der
QR-Zerlegung welche selbst auf orthogonalen, und somit optimal konditionierten, Transformationen
aufbaut.
4.4.2 Householder-Transformationen
Das geometrische Prinzip hinter dem Gram-Schmidt Verfahren ist die Projektion der Vektoren
a i auf die bereits erstellte Orthogonalbasis q 1 , . . . , q i−1 . Diese Projektion ist schlecht
konditioniert, falls a i fast parallel zu den q j mit j < i, etwa a i ≈ q j ist. Dann droht Auslöschung.
Wir können einen Schritt des Gram-Schmidt Verfahrens kompakt mit Hilfe eines
Matrix-Vektor Produktes schreiben (komponentenweise nachrechnen!)
i−1
˜q i = [I − G (i) ]a i , G (i) ∑
= q l ql T ,
mit dem dyadischen Produkt zweier Vektoren vv T ∈ R n×n . Die Matrix [I − G i ] stellt eine
Projektion dar:
Weiter gilt:
[I − G i ] 2 ∑i−1
= I − 2 q l ql T +
l=1
i−1 ∑
k,l=1
i−1
l=1
q l q T l q k
} {{ }
=δ lk
q T k = [I − G i ].
[I − G i ∑
]q k = q k − q l ql T q k = 0.
} {{ }
l=1
=δ lk
Die Matrix I − G i ist also nicht regulär. Falls in Schritt i der Vektor a i fast parallel zu
den bereits orthogonalen Vektoren ist, also ã i ∈ δa i + span{q 1 , . . . , q i−1 }, so gilt
˜q i = [I − G i ]ã i = [I − G i ]δa i ⇒ ‖δq i‖
‖˜q i ‖ =
‖δq i ‖
‖[I − G i ]δa i ‖ ∼ ‖δa i‖
‖a i ‖ . 149