Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.6 Berechnung von Eigenwerten
Satz 4.87 (Hessenberg-Normalform). Zu jeder Matrix A ∈ R n×n existiert eine orthogonale
Matrix Q ∈ R n×n , so dass
⎛
⎞
∗ · · · · · · · · · ∗
. ∗ .. . .. . .. .
Q T AQ =
. 0 .. . .. . .. .
,
⎜ .
⎝.
.. . .. . .. ⎟ . ⎠
0 · · · 0 ∗ ∗
eine Hessenberg-Matrix ist, also eine rechte obere Dreiecksmatrix, die zusätzlich eine untere
Nebendiagonale besitzt. Falls A = A T symmetrisch ist, so ist Q T AQ eine Tridiagonalmatrix.
Beweis: Die Konstruktion der Hessenberg-Matrix erfolgt ähnlich der QR-Zerlegung mit
Householder-Transformationen. Um Ähnlichkeitstransformationen sicherzustellen müssen
wir die orthogonalen Householder-Matrizen S (i) jedoch von links und rechts an die Matrix
A multiplizieren.
Wir beschreiben den ersten Schritt. Es seien A = (a 1 , . . . , a n ) die Spaltenvektoren von A.
Wir bestimmen den Vektor v (1) = (0, v (1)
2 , . . . , v(1) n ) T so, dass mit S (1) = I − 2v (1) (v (1) ) T
gilt
S (1) a 1 ∈ span(e 1 , e 2 ).
Hierzu wählen wir eine Householder-Transformation mit Vektor
v (1) = ã1 + ‖ã 1 ‖e 2
‖ ã 1 + ‖ã 1 ‖e 2 ‖ ,
wobei ã 1 = (0, a 21 , . . . , a n1 ) der reduzierte erste Spaltenvektor ist. Dann gilt mit S (1) =
I − 2v (1) (v (1) ) T mit S (1) = (S (1) ) T :
⎛
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
⎛
⎞
a 11 ∗ · · · ∗
∗ ∗ · · · ∗
A (1) = S (1) A(S (1) ) T . ∗
=
0 . .. .
⎜
⎟·S (1) =:
0 Ã (1)
⎜
⎟, Ã (1) ∈ R n−1×n−1 .
⎝ .
. . .. . ⎠ ⎝ .
⎠
0 ∗ · · · ∗
0
Im zweiten Schritt wird das entsprechende Verfahren auf die Matrix Ã(1) angewendet.
Nach n − 2 Schritten erhalten wir mit Matrix A (n−2) , welche Hessenberg-Gestalt hat.
Q T AQ := S } (n−2) {{ · · · S (1)
} A } S (1) · ·{{ · S (n−2)
}
=:Q T
=:Q
Im Falle A = A T gilt:
(Q T AQ) T = Q T A T Q = Q T AQ.
177