Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6.4 Ein Beispiel
6.4.3 Analyse und Vergleich
Beide Diskretisierungsansätze eignen sich prinzipiell zur Approximation des Anwendungsproblems.
Es zeigen sich jedoch wesentliche Unterschiede. Das globale Polynom vierten
Grades erzeugt etwa die gleiche Approximationsgüte wie das stückweise Polynom mit
n = 32 Teilintervallen! Dieser große Unterschied beruht auf der exponentiellen Konvergenzrate
der Interpolation im Fall n → ∞.
Die gute Approximation muss durch eine aufwändige Lösung erkauft werden: in jedem
Schritt der Newton-Iteration muss ein lineares Gleichungssystem mit voll besetzter Matrix
gelöst werden. Spezielle Bandstrukturen können nicht ausgenutzt werden. Der Stückweise
Ansatz hingegen erzeugt sehr dünne Bandmatrizen, die auch für sehr große Systeme effizient
invertiert werden können. Hinzu kommt, dass der globale Polynomansatz eine sehr
schlecht konditionierte Matrix erzeugt. Dies spielt bei den hier betrachteten sehr kleinen
Problemen noch keine wesentliche Rolle. Die schlechte Kondition kommt aber z.B. bei
der Diskretisierung von zwei- oder dreidimensionalen Problemen schnell zu tragen. Der
globale Polynomansatz wird bei n > 20 aufgrund von Rundungsfehleranfälligkeit versagen.
Der stückweise Ansatz kann (und wird) auch für sehr große n > 1 000 000 Systeme
durchgeführt.
Schließlich wird die hier dargestellte Situation durch das gewählte Beispiel verzerrt. Die
Lösung y(x) ist analytisch vorgegeben und es gilt y ∈ C ∞ (I). Nur bei dieser hohen Differenzierbarkeit
kann der globale Polynomansatz seine volle Ordnung erreichen. In der
praktischen Anwendung ist die Lösung meist nicht bekannt. Stattdessen werden Kräfte
vorgeben. Eine übliche Kraft kann z.B. die stückweise Belastung des Balkens sein:
⎧
⎪⎨ 0 x < 1 4
f(x) =
1
−1
4
⎪⎩
≤ x ≤ 1 .
2
0 x > 1 2
Diese Funktion f ist nicht mehr differenzierbar, sie ist sogar nicht mehr stetig. Es zeigt sich,
dass in diesem Fall auch die Lösung y(x) nicht mehr über beliebige Regularität verfügt. Die
Vereinfachung y ′′ (x) ≈ f(x) legt nahe, dass y(x) die zwei-fache Stammfunktion zu f(x)
ist und dass daher y ∈ C 1 (I) gilt. In diesem Fall kann der globale Polynomansatz nicht
mehr die volle Ordnung erreichen und eine stückweise Diskretisierung ist überlegen. In
Abbildung 6.3 zeigen wir für dieses Beispiel die Lösungen zu n = 4 und n = 8, jeweils mit
globalem Polynomansatz und mit stückweise definiertem Ansatz. Der globale Ansatz zeigt
ein unphysikalisches Verhalten: obwohl die Kraft nur nach unten geht, wird der Balken
am Rand nach oben ausgelenkt. Dies ist gerade die numerische Instabilität der globalen
Lagrange-Interpolation an den Intervallenden!
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