Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Hiermit ergibt sich (wird eigentlich nicht benötigt!)
⎛
⎞
−1 −0.01 0
S (1) = I − 2v (1) (v (1) ) T ⎜
⎟
≈ ⎝−0.01 1 0⎠ ,
0 0 1
und die neuen Spaltenvektoren ergeben sich zu:
a (1)
1 = −‖a 1 ‖e 1 ≈ −e 1 ,
a (1)
2 = a 2 − 2(v (1) , a 2 )v (1) ≈ a 2 − 2v (1) ,
a (1)
3 = a 3 − 2(v (1) , a 3 )v (1) ≈ a 3 − 2v (1) ,
⎛
⎞
−1 −1 −1
⇒ A (1) ⎜
⎟
= ⎝ 0 −0.01 0 ⎠ .
0 0.01 0.01
Wir fahren mit der Teilmatrix A (1)
kl>1
beachte das Vorzeichen sign(a (1)
22 ) =“-”)
fort und wählen mit ã(1) 2 = (−0.01, 0.01) T (man
ṽ (2) =
ã(1) 2 − ‖ã (1)
2 ‖ẽ ( )
2 −0.924
‖ã (1)
2 − ‖ã (1)
2 ‖ẽ 2‖ ≈ .
0.383
Damit ergibt sich als Householder-Transformation
I − 2ṽ (2) (ṽ (2) ) T ≈ ˜S (2) =
( )
−0.708 0.708
, S (2) =
0.708 0.706
⎛
⎜
1 0 0
⎞
⎟
⎝0 −0.708 0.708⎠ .
0 0.708 0.706
Wir erhalten:
ã (2)
2 = ‖ã (1)
1 ‖ẽ 2,
ã (2)
3 = ã (1)
3 − 2(ã (1)
3 , ṽ(2) )ṽ (2) ≈ ã (1)
3 − 2 · 0.00383ṽ (2) ,
⎛
⎞
−1 −1 −1
⇒ A (2) ⎜
⎟
= ⎝ 0 0.0141 0.00708⎠ .
0 0 0.00707
Zur Probe berechnen wir Q T = S (2) S (1) (mit dreistelliger Genauigkeit):
⎛
⎞
−1 −0.01 0
Q T ⎜
⎟
≈ ⎝ 0.00708 −0.708 0.708⎠ .
−0.00708 0.708 0.707
Bei dreistelliger Genauigkeit gilt für das Produkt Q T Q ≈ I:
⎛
Q T ⎜
1 0 0
⎞
Q ≈ ⎝0 1 −7.58 · 10 −4 ⎟
⎠ .
0 −0.758 · 10 −4 1
Dies entspricht einem relativen Fehler ‖Q T Q − I‖ 2 ≤ 10 −3 im Rahmen der Rechengenauigkeit.
Weiter gilt für die Zerlegung A ≈ QR:
⎛
⎞
1 1 1
⎜
A ≈ QR = ⎝0.01 1.72 · 10 −5 ⎟
0.01⎠ .
0 0.00998 0.01
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