Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2 Nullstellenbestimmung
2.6 Konvergenzbegriffe
In diesem Abschnitt wird die Konvergenz iterativer Verfahren anhand der bereits diskutierten
Beispiele in einem allgemeinen Rahmen gefasst. Die theoretischen Resultate werden
allgemein für Fixpunktpunktverfahren hergeleitet, so dass das Newton-Verfahren als ein
Spezialfall aufgefasst werden kann. Die Aussagen dieses Abschnitts sind auf andere iterative
Verfahren die wir später kennenlernen ebenfalls anwendbar (z.B. iterative Lösung von
Gleichungssystemen).
Die folgenden Überlegungen sind durch die bereits bekannten Abschätzungen motiviert.
Für die Intervallschachtelung gilt:
|x n − ˆx| ≤ b − a
2 n+1 ,
mit der Konvergenzrate 1 2
und der Konvergenzordnung p = 1 (lineare Konvergenz).
Das Newtonverfahren besitzt (lokal) in der Umgebung einer Nullstelle das Konvergenzverhalten
|x k − ˆx| ≤ c |x k−1 − ˆx| 2 .
Wir sprechen von einem quadratisch konvergenten Verfahren oder auch von einem Verfahren
2-ter Ordnung.
Allgemein gilt
Definition 2.25 (Konvergenzordnung). Wir nennen ein Iterationsverfahren zur Berechnung
einer Nullstelle ˆx von Konvergenz mit der Ordnung p mit p ≥ 1, wenn gilt
|x k − ˆx| ≤ c|x k−1 − ˆx| p ,
mit einer festen Konstanten c > 0. Im Fall p = 1, d.h. linearer Konvergenz heißt die beste
Konstante c ∈ (0, 1) die lineare Konvergenzrate. Gilt bei linearer Konvergenzrate zusätzlich
c k → 0 (k → ∞), d.h.
|x k − ˆx| ≤ c k |x k−1 − ˆx|,
so sprechen wir von superlinearer Konvergenz.
Grundsätzlich gilt (zumindest asymptotisch), dass superlinear konvergente Folgen schneller
als (schlicht) lineare Folgen konvergieren. Außerdem konvergieren Verfahren mit Ordnung
p+1 schneller als Verfahren mit der Ordnung p. Außerdem gilt, je kleiner die Konvergenzrate
c ist, desto schneller ist die Konvergenz. Allerdings hat die Konvergenzordnung
wesentlich größeren Einfluss auf die Konvergenzgeschwindigkeit, als die Konvergenzrate.
Letztlich sollte bemerkt werden, dass Verfahren mit p > 3 sehr selten Anwendung finden.
Sehr oft nutzt der Numeriker Newton-artige Verfahren, so dass p ≈ 2 gilt.
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