Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2.7 Vier Verfahren im Vergleich
10 0 Bisektions−Methode: f(x) = x 3 +4x 2 −10
10 −1
10 −2
10 −3
|ˆx−xk|
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 −9
0 5 10 15 20 25 30
Iterationen
Abbildung 2.4: Fehler vs. Iterationen für das Intervallschachtelungsverfahren.
Diskussion vereinfachtes Newton
Analog zur Intervallschachtelung erkennen wir lineare Konvergenz des Verfahrens (siehe
Grafik 2.6). Die T OL wird ebenfalls bei 27 Iterationen unterschritten. Die lineare Konvergenz
spiegelt sich ebenfalls im Fehler |ˆx − x k | wieder. Lineare Konvergenz bedeutet, dass
sich der Fehler in jeder Iteration etwas halbiert.
Diskussion Intervallschachtelung als Startiteration für Newton
Die Intervallschachtelung wird nach 3 Iterationen abgebrochen, um so einen besseren
Startwert als x 0 = 1 für das Newton-Verfahren zu bekommen. Nach drei Iterationen ist
˜x 0 = 1.375. Mit diesem Startwert wird nun das klassische Newton-Verfahren gestartet. Im
Vergleich zu vorher können wir die Anzahl der Newton-Iterationen tatsächlich verringern
und erreichen die T OL in 3 Schritten.
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