Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Man beachte, dass diese Gleichung wegen w0 i = wi n+1 = 0 auch für die erste und letzte
Zeile, d.h. für i = 1 sowie i = n gültig ist. Es gilt λ i = cos(πi/(n+1)) und der betragsmäßig
größte Eigenwert von J wird für i = 1 sowie i = n angenommen. Hier gilt mit der
Reihenentwicklung des Kosinus:
( ) π
π 2 ( )
λ max = λ 1 = cos = 1 −
n + 1 2(n + 1) 2 + O 1
(n + 1) 4 .
Der größte Eigenwert geht mit n → ∞ quadratisch gegen 1. Hieraus bestimmen wir
mit (5.16) für einige Schrittweiten aus Beispiel 5.30 die optimalen Relaxationsparameter:
n λ max (J) ω opt
320 0.9999521084 1.980616162
640 0.9999879897 1.990245664
1280 0.9999969927 1.995107064
Schließlich führen wir für diese Parameter das SOR-Verfahren mit optimalem Relaxationsparameter
durch und fassen die Ergebnisse in folgender Tabelle zusammen:
Matrixgröße Jacobi Gauß-Seidel SOR
Schritte Zeit (sec) Schritte Zeit (sec) Schritte Zeit (sec)
320 147 775 0.92 73 888 0.43 486 ≪ 1
640 588 794 7.35 294 398 3.55 1 034 0.02
1 280 2 149 551 58 1 074 776 29 1937 0.05
2 560 4 127 0.22
5 120 zu aufwendig 8 251 0.90
10 240 16 500 3.56
Die Anzahl der notwendigen Schritte steigt beim SOR-Verfahren nur linear in der Problemgröße.
Dies ist im Gegensatz zum quadratischen Anstieg beim Jacobi- sowie beim Gauß-
Seidel-Verfahren ein wesentlicher Fortschritt. Da der Aufwand eines Schrittes des SOR-
Verfahrens mit dem von Jacobi- und Gauß-Seidel vergleichbar ist für das SOR-Verfahren
zu einem Gesamtaufwand von nur O(n 2 ) Operationen. Dieses positive Resultat gilt jedoch
nur dann, wenn der optimale SOR-Parameter bekannt ist.
5.3.4 Praktische Aspekte
Wir fassen zunächst die bisher vorgestellten Verfahren zusammen:
Beispiel 5.34 (Einfache Iterationsverfahren). Es gilt in allgemeiner Darstellung
x k+1 = x k + C −1 (b − Ax k ) = (I − C −1 A) x k + C −1 b.
} {{ }
=B
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