Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.3 Numerische Differentiation
In x = x 0 gilt für erste und zweite Ableitungen:
p ′ 2(x 0 ) = f(x 0 + h) − f(x 0 − h)
, p ′′
2h
2(x 0 ) = f(x 0 + h) − 2f(x 0 ) + f(x 0 − h)
h 2 .
Für die erste Ableitung ergibt sich erstaunlicherweise wieder der zentralen Differenzenquotienten,
der schon durch lineare Interpolation hergeleitet wurde. Dies ist der Ursprung
der Bezeichnung Superapproximation: mit Hilfe der linearen Interpolierenden wird ein Ergebnis
erreicht, das eigentlich erst bei quadratischer Interpolierender zu erwarten wäre.
Für die zweite Ableitung erhalten wir mit Taylorentwicklung:
p ′′
2(x 0 ) = −2f(x 0) + f(x 0 − h) + f(x 0 + h)
h 2 = f ′′ (x 0 ) + 1 12 h2 f (iv) (x 0 ) + O(h 4 )
den zentrale Differenzenquotient für die zweite Ableitung.
Wir können auf der Basis von p 2 auch einen einseitigen Differenzenquotienten für die
zweite Ableitung herleiten. Dies erfolgt durch Approximation von f ′′ (x 0 −h) ≈ p ′′
2 (x 0 −h).
Wieder mit Taylorentwicklung erhalten wir
p ′′ (x 0 − h) = f ′′ (x 0 − h) + hf ′′′ (x 0 − h) + O(h 2 )
lediglich eine Approximation erster Ordnung. Neben der Ordnung des Interpolationspolynoms
p(x) kommt es entscheidend auf die entsprechende Wahl der Stützstellen an.
Wir betrachten ein Beispiel:
Beispiel 3.28. Es sei
f(x) = tanh(x).
Wir suchen eine Approximation von
( )
( )
1 1
f ′ ≈ 0.7864477329659274, f ′′ ≈ −0.7268619813835874.
2
2
Zur Approximation verwenden wir für die vier bisher diskutieren Differenzenquotienten zu
verschiedenen Schrittweiten h > 0:
In Abbildung 3.7 tragen wir die Fehler der Approximationen gegenüber der Schrittweite
auf. Hier ist deutlich der Unterschied zwischen linearer und quadratischer Ordnung in h
zu erkennen.
Stabilität
Abschließend untersuchen wir die Stabilität der Differenzenapproximation. Die Koeffizienten
der verschiedenen Formeln wechseln das Vorzeichen, somit besteht die Gefahr der
Auslöschung. Exemplarisch führen wir die Stabilitätsanalyse für die zentralen Differenzenapproximation
zur Bestimmung der ersten Ableitung durch. Wir gehen davon aus, dass die
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