Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.6 Berechnung von Eigenwerten
Satz 4.70 (Eigenwert). Es sei A ∈ R n×n . Dann gilt:
• Die Matrix A hat genau n Eigenwerte, ihrer Vielfachheit nach gezählt.
• Die Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
det(A − λI) = 0.
• Reelle Matrizen können komplexe Eigenwerte haben, komplexe Eigenwerte treten
stets als konjugierte Paare λ, ¯λ auf.
• Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig.
• Falls n linear unabhängige Eigenvektoren existieren, so existiert eine reguläre Matrix
S ∈ R n×n , so dass S −1 AS = D eine Diagonalmatrix ist. Die Spaltenvektoren von S
sind die Eigenvektoren und die Diagonaleinträge von D die Eigenwerte.
• Symmetrische Matrizen A = A T haben nur reelle Eigenwerte. Es existiert eine Orthonormalbasis
von Eigenvektoren und eine Diagonalisierung Q T AQ = D mit einer
orthogonalen Matrix.
• Bei Dreiecksmatrizen stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen.
Zu einem Eigenwert λ sind die Eigenvektoren als Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems
bestimmt:
(A − λI)w = 0.
Umgekehrt gilt:
Definition 4.71 (Rayleigh-Quotient). Sei A ∈ R n×n sowie w ∈ R n ein Eigenvektor.
Dann ist durch den Rayleigh-Quotienten der zugehörige Eigenwert gegeben:
λ = (Aw, w) 2
‖w‖ 2 .
2
Mit Hilfe dieser Definition folgt eine einfache Schranke für die Eigenwerte:
(Aw, w) 2
|λ| ≤ sup
w≠0 ‖w‖ 2 2
≤ ‖A‖ 2 ‖w‖ 2 2
‖w‖ 2 2
= ‖A‖ 2 .
Wir haben in Abschnitt 4.1 bereits gesehen, dass diese Schranke für die Beträge der Eigenwerte
in jeder Matrixnorm mit verträglicher Vektornorm gilt.
4.6.1 Konditionierung der Eigenwertaufgabe
Bevor wir auf konkrete Verfahren zur Eigenwertberechnung eingehen, analysieren wir die
Kondition der Aufgabe, d.h. die Abhängigkeit der Eigenwerte von der Störung der Matrix.
Hierfür benötigen wir zunächst einen Hilfsatz:
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