Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

In Schritt 2 weitere n Additionen notwendig. Der Gesamtaufwand des Algorithmus beträgt
demnach n 2 /2 + n/2 Multiplikationen sowie n Additionen. Wir fassen eine Addition und
eine Multiplikation zu einer elementaren Operation zusammen und erhalten zusammen
als Aufwand der trivialen Polynomauswertung
elementare Operationen.
Wir schreiben das Polynom um
A 1 (n) = n2
n + n 2
p(x) = a 0 + x(a 1 + x(a 2 + · · · + x(a n−1 + xa n ) . . . ))
und leiten hieraus einen weiteren Algorithmus her:
Algorithmus 1.4 (Horner-Schema).
1. Setze p := a n
2. In Schritt i = n − 1 bis 0 berechne p := a i + x · p
Jeder der n Schritte des Verfahrens benötigt eine Multiplikation sowie eine Addition, also
ergibt sich ein Aufwand von
A 2 (n) = n
elementare Operationen. Das Horner-Schema benötigt für die gleiche Aufgabe wesentlich
weniger Operationen, man denke nur an Polynome n ≫ 1000.
Definition 1.5 (Numerischer Aufwand). Der Aufwand eines numerischen Verfahrens ist
die Anzahl der notwendigen elementaren Operationen. Eine elementare Operation ist eine
Addition und eine Multiplikation.
Meist hängt der Aufwand eines Verfahrens von der Problemgröße ab. Die Problemgröße
N ∈ N wird von Problem zu Problem definiert, beim Lösen eines linearen Gleichungssystems
Ax = b mit einer Matrix A ∈ R N×N ist die Größe der Matrix die Problemgröße.
Beim Auswerten eines Polynoms p(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 0 in einem Punkt x ist
die Problemgröße die Anzahl der Koeffizienten n.
Zur einfachen Schreibweise definieren wir:
3