Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar durch Integration der entsprechenden Fehlerabschätzung
für die Lagrange-Interpolation in Satz 3.12.
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Hieraus folgt eine wichtige Eigenschaft der interpolatorischen Quadraturformeln:
Korollar 3.40. Die interpolatorische Quadraturformel I (n) (·) ist exakt für alle Polynome
vom Grad n.
Beweis: Folgt direkt aus der Konstruktion der interpolatorischen Quadraturformeln, da
für jedes f ∈ P n sofort p = f gilt.
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Die Integrierbarkeit von Polynomen wird genutzt, um die Ordnung von Quadraturregeln
zu charakterisieren:
Definition 3.41 (Ordnung von Quadraturregeln). Eine Quadraturformel I (n) (·) wird
(mindestens) von der Ordnung m genannt, wenn durch sie mindestens alle Polynome
aus P m−1 exakt integriert werden. D.h. die interpolatorischen Quadraturformeln I (n) (·) zu
n + 1 Stützstellen sind mindestens von der Ordnung n + 1.
Im Folgenden werden wir die bereits eingeführten einfachen Quadraturformeln näher analysieren
und ihre Fehlerabschätzung sowie Ordnung bestimmen. Hierzu werden wir die
Newtonsche Integraldarstellung des Interpolationsfehlers aus Satz 3.39 nutzen.
Satz 3.42 (Boxregel). Es sei f ∈ C 1 [a, b]. Die Boxregel (Definition 3.36) ist von erster
Ordnung und es gilt die Fehlerabschätzung:
mit einer Zwischenstelle ξ ∈ (a, b).
I 0 (f) := (b − a)f(a), I(f) − I 0 (f) =
(b − a)2
f ′ (ξ),
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Beweis: Die Boxregel basiert auf der Interpolation mit einem konstanten Polynom, hat
daher erste Ordnung. Aus Satz 3.39 folgt mit x 0 = a:
wobei mit Satz 3.12 weiter gilt:
I(f) − I 0 (f) =
I(f) − I 0 (f) =
∫ b ∫ 1
a
0
∫ b
a
f[a, x](x − a) dx,
f ′ (a + t(x − a))(x − a) dt dx.
Wir wenden den Mittelwertsatz der Integralrechnung zweimal an und erhalten
I(f) − I 0 (f) = f ′ (ξ)
∫ b ∫ 1
a
0
(x − a) dt dx = 1 2 f ′ (ξ)(b − a) 2 ,
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