Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Wir setzen das Verfahren mit der Teilmatrix A (1)
kl>1
fort. Hierzu sei der verkürzte zweite
Spaltenvektor definiert als ã (1) = (a (1)
22 , a(1) 32 , . . . , a(1) n2 )T ∈ R n−1 . Dann wählen wir:
⎛
⎞
1 0 · · · · · · 0
R n−1 ∋ ṽ (2) := ã(1) + sign(a (1)
0
22 )‖ã(1) ‖e 1
∥
∥ã (1) + sign(a (1) ∥, S (2) =
0
⎜ I − 2ṽ (2) (v (2) ) T ⎟∈ R n×n .
22 )‖ã(1) ‖e 1 ⎝.
⎠
0
Multiplikation mit S (2) von links, also A (2) := S (2) A (1) lässt die erste Zeile unverändert.
Eliminiert wird der Block A (1)
kl>1 . Für die resultierende Matrix A(2) gilt a (2)
kl
= 0 für l = 1, 2
und k > l. Nach n − 1 Schritten gilt:
R := } S (n−1) S (n−2) {{ · · · S (1)
} A.
=:Q T
Alle Transformationen sind orthogonal, somit ist auch Q ∈ R n×n eine orthogonale (und
natürlich reguläre) Matrix.
Wir fassen zusammen:
Satz 4.58 (QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen). Es sei A ∈ R n×n eine
reguläre Matrix. Dann lässt sich die QR-Zerlegung von A nach Householder in
2n 3
3 + O(n2 )
arithmetische Operationen numerisch stabil durchführen.
Beweis: Die Durchführbarkeit der QR-Zerlegung geht aus dem Konstruktionsprinzip hervor.
Aus der Regularität der Matrizen A (i) folgt, dass der Teilvektor ã (i) ∈ R n−i ungleich
Null sein muss. Dann ist ṽ (i) gemäß (4.7) wohl definiert. Die folgende Elimination wird
gemäß (4.8) spaltenweise durchgeführt:
ã (i+1)
k
= [I − 2ṽ (i) (ṽ (i) ) T ]
} {{ }
ã (i)
k
= ã(i) k
− 2(ṽ(i) , ã (i)
k )ṽ(i) .
= ˜S (i)
Die numerische Stabilität folgt aus cond 2 (S (i) ) = 1, siehe Bemerkung 4.16.
Wir kommen nun zur Abschätzung des Aufwands. Im Schritt A (i) → A (i+1) muss zunächst
der Vektor ṽ (i) ∈ R n−i berechnet werden. Hierzu sind 2(n − i) arithmetische Operationen
notwendig. Im Anschluss erfolgt die spaltenweise Elimination. (Es wird natürlich nicht die
Matrix S (i) aufgestellt und die Matrix-Matrix Multiplikation durchgeführt!) Für jeden der
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