Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.2 Fixpunkt-Iterationen zum Lösen von nichtlinearen Gleichungen
(iv) Zeige, dass z ∈ B r (x 0 ) eine Nullstelle von f ist:
Die Newton-Iterationsvorschrift sowie Bedingung (5.4) liefern
Daher gilt
‖f(x k )‖ = ‖f ′ (x k )(x k − x k−1 )‖
≤ ‖f ′ (x k ) − f ′ (x 0 ) + f ′ (x 0 )‖ ‖x k+1 − x k ‖
≤ ( γ‖x k − x 0 ‖ + ‖f ′ (x 0 )‖ ) ‖x k+1 − x k ‖
→ 0, k → ∞.
f(x k ) → 0, k → ∞.
Die Stetigkeit von f impliziert dann f(z) = 0.
(v) Eindeutigkeit der Nullstelle z ∈ B r (x 0 ):
Die Eindeutigkeit wird mit Hilfe der Kontraktionseigenschaft und der Formulierung der
Newton-Iteration als Fixpunktiteration gezeigt. Die gefundene Nullstelle x k → z von f(x)
ist auch Fixpunkt der vereinfachten Iteration:
ḡ(x) := x − f ′ (x 0 ) −1 f(x).
Diese Iteration ist eine Kontraktion, denn aus
ḡ(x) − ḡ(y) = x − y − f ′ (x 0 ) −1 f(x) + f ′ (x 0 ) −1 f(y) = f ′ (x 0 ) −1 (f(y) − f(x) − f ′ (x 0 )(y − x)),
folgt mit den Bedingungen (5.5) und (5.6) sowie (5.8) die Abschätzung:
‖ḡ(x) − ḡ(y)‖ ≤ ββγr‖y − x‖ ≤ 2q‖y − x‖, ∀x, y ∈ B r (x 0 ).
Da q < 1 2
ist ḡ eine Kontraktion. Eine Kontraktionsabbildung kann höchstens einen
Fixpunkt haben. Da dieser Fixpunkt die Nullstelle von f ist, haben wir die Nullstelle
z ∈ B r (x 0 ) eindeutig bestimmt. Damit ist alles gezeigt.
□
Bemerkung 5.13. Der Satz von Newton-Kantorovich unterscheidet sich in einigen Punkten
wesentlich von Satz 2.10 über das eindimensionale Newton-Verfahren. Der wesentliche
Unterschied ist die Regularität von f, welches beim Newton-Kantorovich nur über eine
Lipschitz-stetige Jacobi-Matrix anstelle von zweimal stetiger Differenzierbarkeit verfügen
muss. Ferner muss die Existenz einer Nullstelle nicht vorausgesetzt werden, sie folgt beim
Newton-Kantorovich als Ergebnis des Satzes.
Daher nun eine der Hauptanwendungen des vorherigen Satzes 5.12: das folgende lokale
Konvergenzresultat:
Korollar 5.14. Es sei D ⊂ R n offen und f : D ⊂ R n → R n zweimal stetig-differenzierbar.
Wir nehmen an, dass z ∈ D eine Nullstelle mit regulärer Jacobi-Matrix f ′ (z) ist. Dann
ist das Newton-Verfahren lokal konvergent, d.h. es existiert eine Umgebung B um z, so
dass das Newton-Verfahren für alle Startwerte x 0 ∈ B konvergiert.
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