Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Schritt 2: QR-Verfahren
Wir führen nun einige Schritte des QR-Verfahrens durch, verzichten dabei auf die Zwischenschritte
zum Erstellen der QR-Zerlegung. Es sei A (1) := H. Dann ist:
⎛
⎞
400.759 123.634 0 0
A (1) = Q (1) R (1) A (2) = R (1) Q (1) 123.634 441.338 −32.131 0
= ⎜
⎟
⎝ 0 −32.131 −42.082 −122.498⎠
0 0 −122.498 9.985
⎛
⎞
473.938 113.971 0 0
A (2) = Q (2) R (2) A (3) = R (2) Q (2) 113.971 370.411 10.831 0
= ⎜
⎟
⎝ 0 10.831 −74.680 −111.053⎠
0 0 −111.053 40.331
⎛
⎞
520.095 78.016 0 0
A (3) = Q (3) R (3) A (4) = R (3) Q (3) 78.016 324.515 −4.350 0
= ⎜
⎟
⎝ 0 −4.350 −98.717 −94.942⎠
0 0 −94.942 64.105
⎛
⎞
538.682 45.895 0 0
A (4) = Q (4) R (4) A (5) = R (4) Q (4) 45.895 305.970 1.926 0
= ⎜
⎟
⎝ 0 1.926 −115.400 −77.620⎠
0 0 −77.620 80.747
.
⎛
⎞
547.387 2.245 0 0
A (9) = Q (9) R (9) A (10) = R (9) Q (9) 2.245 297.275 −0.0427 0
= ⎜
⎟
⎝ 0 −0.0453 −140.561 −21.413⎠ .
0 0 −21.413 105.898
Für die Diagonalelemente gilt:
a (10)
11 ≈ 547.387, a (10)
22 ≈ 297.275, a (10)
33 ≈ −140.561, a (10)
44 ≈ 105.898.
Diese Diagonalelemente stellen sehr gute Näherungen an alle Eigenwerte der Matrix A
dar:
|a (10)
11 − λ 1 |
≈ 0.00005,
|λ 1 |
|a (10)
22 − λ 2 |
≈ 0.00007,
|λ 2 |
|a (10)
33 − λ 3 |
≈ 0.01,
|λ 3 |
|a (10)
44 − λ 4 |
≈ 0.01.
|λ 4 |
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