Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

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Abbildung 3.2: Approximation gegebener Messwerte.
eine der entscheidenden Fragen, die es zu klären gilt: Polynom, Spline, trigonometrische
Funktion? Das hängt im wesentlichen von der gegebenen Aufgabenstellung ab.
Einen Zusammenhang zwischen Polynomen und stetigen Funktionen stellt der Weierstraßsche
Approximationssatz her (Analysis I):
Satz 3.3 (Weierstraßsche Approximationssatz). Es sei f ∈ C[a, b]. Dann gibt es zu jedem
ε > 0 ein auf [a, b] definiertes Polynom p, so dass
|f(x) − p(x)| < ε
∀x ∈ [a, b].
Der Weierstraßsche Approximationssatz besagt zunächst, dass es möglich ist, jede stetige
Funktion beliebig gut durch ein Polynom zu approximieren, hilft jedoch noch nicht bei
der praktischen Durchführung. Auch hier gibt es einen einfachen Ansatz in der Analysis:
Satz 3.4 (Taylor-Entwicklung). Es sei f ∈ C n+1 [a, b]. Für das n-te Taylor-Polynom zu
x 0 ∈ (a, b)
n∑ f (k) (x 0 )
t n (x; x 0 ) :=
(x − x 0 ) k
k!
k=0
ist eine Approximation zu f in der Umgebung von x 0 . Es gilt die Fehlerabschätzung:
mit einer Zwischenstelle ξ x ∈ [a, b].
f(x) − t n (x; x 0 ) = f (n+1) (ξ x )
(x − x 0 ) n+1 ,
(n + 1)!
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