Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit der Matrix A ist also äußerst schlecht
konditioniert. Hieraus resultiert der enorme Rundungsfehler im Beispiel zu Beginn des
Kapitels. Wir halten hier fest: bei großer Konditionszahl ist die Konditionierung des Problems
sehr schlecht, d.h. der große Fehler ist immanent mit der Aufgabe verbunden und
nicht unbedingt auf ein Stabilitätsproblem des Verfahrens zurückzuführen.
4.2.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren und die LR-Zerlegung
Das wichtigste Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungsystems Ax = b mit quadratischer
Matrix A ∈ R n×n ist das Gauß’sche Eliminationsverfahren: durch Elimination der
Einträge unterhalb der Diagonale wird die Matrix A ∈ R n×n in den ersten n − 1 Schritten
auf eine obere rechte Dreiecksgestalt gebracht:
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗
∗ ∗ ∗ · · · ∗
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
→
0 ∗ ∗ ∗
→ · · · →
0 0 ∗ ∗
⎜ .
⎝.
.. ⎟ ⎜ . . ⎠ ⎝.
.. ⎟ ⎜
. . ⎠ ⎝.
.. ⎟ . ⎠
∗ ∗ ∗ · · · ∗ 0 ∗ ∗ · · · ∗
0 0 · · · 0 ∗
Mit der Dreiecksmatrix R ∈ R n×n (R = (r ij ) n i,j=1 mit r ij = 0 für i > j) kann das reduzierte
Gleichungssystem
Rx = ˜b,
durch Rückwärtseinsetzen gelöst werden. Wir betrachten zunächst diese Rückwärtseinsetzen:
Algorithmus 4.20 (Rückwärtseinsetzen). Es sei R n×n eine rechte obere Dreiecksmatrix.
Die Lösung x ∈ R n von Rx = b ist gegeben durch:
1. Setze x n = r −1
nnb n
2. Für i = n − 1, . . . , 1
x i = r −1
ii
⎛
⎝b i −
n∑
j=i+1
r ij x j
⎞
⎠ .
Es gilt:
Satz 4.21 (Rückwärtseinsetzen). Es sei R ∈ R n×n eine rechte obere Dreiecksmatrix mit
r ii ≠ 0. Dann ist die Matrix R regulär und das Rückwärtseinsetzen erfordert
arithmetische Operationen.
N R (n) = n2
2 + O(n)
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