Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2.3 Intervallschachtelung
Satz 2.5 (Intervallschachtelung). Es sei f ∈ C[a, b] mit f(a)f(b) < 0. Man definiere eine
Folge von Intervallen [a n , b n ] mit n = 0, 1, 2, . . . , N, durch
[a 0 , b 0 ] = [a, b]
und
⎧
⎪⎨ [a n , x n ] falls f(a n )f(x n ) < 0,
[a n+1 , b n+1 ] = [x n , b n ] falls f(x n )f(b n ) < 0,
⎪⎩
[x n , x n ] falls f(x n ) = 0,
wobei x n = 1 2 (a n + b n ) der Mittelpunkt des Intervalls [a n , b n ] ist. Dann gilt, dass x n →
ˆx (n → ∞) für eine Nullstelle ˆx von f und
|x n − ˆx| ≤ b − a
2 n+1 .
Diese Fehlerschranke verhält sich wie eine geometrische Folge mit dem Quotienten 1 2 (Konvergenzrate)
und hat die Konvergenzordnung p = 1 (mehr dazu in Abschnitt 2.6).
Beweis: Falls f(x n ) = 0 für ein n ∈ N, dann ist die Nullstelle exakt gefunden. Im
Folgenden wird dieser Fall nicht mehr betrachtet. Nach Konstruktion gilt
a ≤ a 1 ≤ . . . ≤ a n ≤ a n+1 ≤ b n+1 ≤ b n ≤ . . . b 1 ≤ b,
und damit
|b n − a n | = |b n−1 − a n−1 |
= |b n−2 − a b−2 | |b − a|
2
2 2 = . . . =
2 n . (2.1)
Somit ist (a n ) eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge. Damit ist diese
nach dem Monotoniekriterium konvergent (Analysis I). Analog erhalten wir die Konvergenz
für die Folge (b n ), die monoton fallend und nach unten beschränkt ist. Somit gilt
ˆx := lim
n→∞ b n = lim
n→∞ (a n + (b n − a n )) = lim
n→∞ a n + lim
n→∞ (b n − a n ) = lim
n→∞ a n.
Da a n ≤ x n ≤ b n für alle n ∈ N folgt lim n→∞ x n = ˆx. Aus der Stetigkeit von f folgt weiter
f(a n )f(b n ) ≤ 0
∀n ∈ N
und dies impliziert
f(ˆx) 2 = lim
n→∞ f(a n)f(b n ) ≤ 0 ⇒ f(ˆx) = 0.
Es bleibt die Konvergenzrate zu bestimmen. Es gilt a n ≤ ˆx ≤ b n (∀n) und
x n − a n = b n − x n = b − a
2 n+1 .
Da ˆx ∈ [a n , x n ] oder ˆx ∈ [x n , b n ] folgt die Behauptung:
|x n − ˆx| ≤ b − a
2 n+1 . □
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