Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.2 Fixpunkt-Iterationen zum Lösen von nichtlinearen Gleichungen
Vereinfachtes Newton-Verfahren Im höher-dimensionalen Newton-Verfahren liegt der
Hauptaufwand in der Lösung des linearen Gleichungssystems in jedem Newton-Schritt.
Daher macht sich hier die Verwendung eines vereinfachten Newton-Verfahrens deutlicher
bemerkbar als im eindimensionalen Fall. Wir wählen ein c ∈ R n möglichst nahe an der
gesuchten Nullstelle c ≈ z und iterieren:
f ′ (c)(x k+1 − x k ) = −f(x k ), k = 1, 2, . . .
Dabei kann z.B. c = x 0 gewählt werden. Das “einfrieren” der Inversen hat zwei Vorteile:
zunächst muss diese seltener berechnet werden. Dies kann bei komplizierten Ableitungen,
die möglicherweise nur numerisch bestimmt werden können ein wesentlicher Vorteil
sein. Noch wichtiger ist jedoch, dass die Matrix f ′ (c) nur einmal zerlegt werden muss,
etwa f ′ (c) = LR. Diese Zerlegung kann dann in jedem Schritt zum Lösen des linearen
Gleichungssystems genutzt werden. Da ein Erstellen der Zerlegung O(n 3 ) und das
anschließende Lösen nur O(n 2 ) Operationen benötigt, kann selbst dann ein enormer Effizienzgewinn
erreicht werden, falls das vereinfachte Newton-Verfahren weit mehr Schritte
benötigt. Das vereinfachte Newton-Verfahren kann nur noch linear konvergieren und die
Konvergenz kann einfach durch Anwenden des Banachschen Fixpunktsatzes auf die Iterationsvorschrift
x k+1 = x k − f ′ (c) −1 f(x k )
gesichert werden.
Bei einem konkreten Verfahren mit x 0 und fester Matrix A kann während der Berechnung
mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes geklärt werden, ob Konvergenz vorliegt. Hierzu
kann der Kontraktionsfaktor q a posteriori berechnet werden:
q k = ‖g(xk ) − g(x k−1 )‖
‖x k − x k−1 ‖
= ‖xk+1 − x k ‖
‖x k − x k−1 , k = 1, 2, . . . .
‖
Die zugrundeliegende Norm kann die Maximums-Norm oder l 1 -Norm sein (siehe zu den
Vektornormen auch Kapitel 4). Falls der Schätzfaktor q k ≪ 1, dann ist das vereinfachte
Newton-Verfahren sehr wahrscheinlich konvergent. Falls q k ≈ 1 bzw. q k ≥ 1, dann liegt
wahrscheinlich keine Konvergenz vor.
Hier hat man nun folgende Möglichkeiten:
• Wahl eines besseren Startwertes x 0 ,
• Bessere Wahl von f ′ (c) als Approximation für f ′ (x),
• Oder ein vereinfachtes Newton-Verfahren in dem f ′ (c) z.B. alle 4 Schritte neu aufgebaut
wird, um so ab und zu die Matrix anzupassen.
Die letzte Methodik wird sehr häufig bei nicht-linearen Problemen im Rahmen von partiellen
Differentialgleichungen verwendet. Denn hier ist die kluge Wahl eines Startwertes
oftmals mit sehr viel Aufwand verbunden, weshalb die Möglichkeit 1 ausgeschlossen wird.
Daher ist die Wahl von x 0 oftmals sehr schlecht, weshalb aber auch A := f ′ (x 0 ) eine
sehr schlechte Approximation von f ′ (z) ist. Deshalb sollte man nach z.B. 3 Schritten
A := f ′ (x 3 ) wählen, um eine bessere Approximation der Jacobi-Matrix zu erhalten.
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