Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
In diesem Kapitel besprechen wir numerische Iterationsverfahren (insbesondere Fixpunktverfahren)
als eine weitere Lösungsmethode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen
(Kapitel 4) sowie zur Lösung von nicht-linearen Gleichungen (siehe Kapitel 2). Das zentrale
Hilfsmittel ist der Banachsche Fixpunktsatz, der als Voraussetzung eine Fixpunktformulierung
der Aufgabenstellung verlangt. Alle Resultate dieses Kapitels werden direkt für
den höherdimensionalen Fall hergeleitet.
5.1 Der Banachsche Fixpunktsatz
In dem ganzen Kapitel betrachten wir Iterationen der Art
x 0 ∈ R n , x k+1 = g(x k ), k = 0, 1, 2, . . . ,
mit einer Abbildung g(·) : R n → R n . Ein Punkt x ∈ R n heißt Fixpunkt, falls g(x) = x.
Beispiel 5.1 (Newton-Verfahren als Fixpunktiteration). Zur Lösung eines nicht-linearen
Gleichungssystems im R n sei
oder in kurzer Schreibweise:
f i (x 1 , . . . , x n ) = 0, i = 1, . . . , n,
f(x) = 0
mit f = (f 1 , . . . , f n ) T und (x 1 , . . . , x n ) T . Dann lässt sich das vereinfachte Newton-Verfahren
schreiben als
x k+1 = x k + C −1 f(x k ), k = 0, 1, 2, . . .
mit einer Matrix C ∈ R n×n . Das Standard Verfahren von Newton verlangt die erste Ableitung,
so dass C := f ′ (x k ) ∈ R n×n . Die Berechnung der höherdimensionalen Ableitung
zeigen wir später.
Im Folgenden sei ‖·‖ eine beliebige Vektornorm auf R n und ‖·‖ die entsprechende natürliche
Matrizennorm. Die ausführliche Diskussion der entsprechenden Eigenschaften findet der
aufmerksame Leser in Kapitel 4.
Zunächst rekapitulieren wir die bereits aus der Analysis bekannte Lipschitz-Stetigkeit einer
Funktion:
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