Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

1.1 Konditionierung von numerischen Problemen
also normalisiert
384 10 = 1.1000 · 2 8 10
= 1.1000 · 2 15 10−7 10
= 1.1000 2 · 2 1111 2−b .
Alle Bits im Exponenten sind 1. Der spezielle Wert E = 1111 2 ist jedoch zur Speicherung
von NaN (Not a Number) vorgesehen. Die Zahl 384 ist zu groß um in diesem
Zahlenformat gespeichert zu werden. Stattdessen wird −∞ oder Binär 111110000 2
gespeichert.
• Die Zahl x = 1/3 = 0.33333 . . . ist positiv, also S = 0. Die Binärdarstellung von
1/3 ist
1
3 = 0.01010101 . . . 2 .
Normalisiert, mit vierstelliger Mantisse erhalten wir
1
3 ≈ 1.0101 2 · 2 −2 = 1.0101 2 · 2 5 2−7 2
= 1.0101 2 · 2 0101 2−b ,
also die Binärdarstellung 001010101 2 . Wir mussten bei der Darstellung runden und
erhalten rückwärts
1.0101 2 · 2 0101 2−7 = 1.3125 · 2 −2 = 0.328125,
mit dem relativen Fehler:
1
3 − 1.0101 2 · 2 0101 2−b
∣
1
∣ ≈ 0.016
3
• Die Zahl x = √ 2 ≈ 1.4142135623 . . . ist positiv, also S = 0. Gerundet gilt:
√
2 ≈ 1.01112
Diese Zahl liegt bereits normalisiert vor. Mit Bias b = 7 gilt für den Exponenten
e = 0 = 7 − 7 √
2 ≈ 1.01112 · 2 0111 2−b ,
also 001110111. Rückwärts in Dezimaldarstellung erhalten wir
1.0111 2 · 2 0111 2−b = 1.4375,
mit dem relativen Darstellungsfehler
√ ∣ 2 − 1.4375∣∣∣∣
√ ≈ 0.016.
∣ 2
• Schließlich betrachten wir die Zahl x = −0.003. Mit S = 1 gilt:
0.003 10 ≈ 0.00000000110001 2
11