Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.1 Polynominterpolation
oder auch beliebige diskrete Datenwerte
(x k , y k ), k = 0, 1, . . . , n.
3.1.1 Lagrangesche Darstellung
In diesem Abschnitt verwenden wir zur Konstruktion des Interpolationspolynoms die Lagrangeschen
Basispolynome
L (n)
k (x) := n ∏
j=0,j≠k
x − x j
x k − x j
∈ P n , k = 0, 1, . . . , n.
Die Basiseigenschaft möge der aufmerksame Leser selbst verifizieren. Als zweite Eigenschaft
erhalten wir
{
L (n)
1, k = l
k (x l) = δ kl :=
0, k ≠ l,
wobei δ kl das Kronecker-Symbol bezeichnet.
Satz 3.7 (Lagrangesche Darstellung). Das Polynom p ∈ P n gemäß
p(x) :=
n∑
k=0
erfüllt die Interpolationsbedingung p(x k ) = y k .
y k L (n)
k
(x)
Beweis: Zunächst gilt wegen L (n)
k
∈ P n auch für die Linearkombination p ∈ P n . Weiter
folgt sofort:
n∑
n∑
p(x j ) = y k L (n)
k (x j) = y k δ kj = y j .
k=0
k=0
□
Die Lagrangesche Darstellung des Interpolationspolynoms besticht durch ihre Einfachheit.
Sie hat allerdings den großen Nachteil, das jedes Basispolynom L (n)
k
(x) von sämtlichen
Stützstellen x 0 , x 1 , . . . , x n abhängt. Angenommen zur Steigerung der Genauigkeit
soll eine Stützstelle x n+1 hinzugenommen werden, so müssen sämtliche Basispolynome
ausgetauscht werden.
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