Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Hilfsatz 4.72. Es seien A, B ∈ R n×n beliebige Matrizen. Dann gilt für jeden Eigenwert
λ von A, der nicht zugleich Eigenwert von B für jede natürliche Matrizennorm die Abschätzung:
‖(λI − B) −1 (A − B)‖ ≥ 1.
Beweis: Es sei w ≠ 0 ein Eigenvektor zu λ. Dann gilt:
(A − B)w = (λI − B)w.
Wenn λ kein Eigenwert von B ist, so ist die Matrix (λI − B) regulär, d.h. es folgt:
(λI − B) −1 (A − B)w = w.
Und schließlich durch Normbilden:
1 = ‖(λI − B)−1 (A − B)w‖
‖w‖
≤ sup
x
‖(λI − B) −1 (A − B)x‖
‖x‖
= ‖(λI − B) −1 (A − B)‖.
Auf dieser Basis erhalten wir ein einfaches Kriterium zur Eingrenzung der Eigenwerte einer
Matrix:
□
Satz 4.73 (Gerschgorin-Kreise). Es sei A ∈ R n×n . Alle Eigenwerte λ von A liegen in der
Vereinigung der Gerschgorin-Kreise:
K i = {z ∈ C : |z − a ii | ≤
n∑
k=1,k≠i
|a ik |}, i = 1, . . . , n.
Angenommen zu den Indexmengen I m = {i 1 , . . . , i m } und I ′ m = {1, . . . , n} \ I m seien
die Vereinigungen U m = ⋃ i∈I m
K i und U ′ m = ⋃ i∈I ′ m K i disjunkt. Dann liegen genau m
Eigenwerte (ihrer algebraischen Vielfachheit nach gezählt) in U m und n − m Eigenwerte
in U ′ m.
Beweis: (i) Es sei D ∈ R n×n die Diagonalmatrix D = diag(a ii ). Weiter sei λ ein Eigenwert
von A mit λ ≠ a ii . (In diesem Fall wäre die Aussage des Satzes trivial erfüllt). Hilfsatz 4.72
besagt bei Wahl der maximalen Zeilensummennorm:
1 ≤ ‖(λI−D) −1 (A−D)‖ ∞ = max
i
⎧ ⎫ ⎧
⎫
⎨ n∑
⎬ ⎨
n
|(λ − a
⎩
ii ) −1 a ij |
⎭ = max
i ⎩ |λ − a ii| −1 ∑ ⎬
|a ij |
⎭ .
j=1,j≠i
j=1,j≠i
D.h. es existiert zu jedem λ ein Index i ∈ {1, . . . , n} so dass gilt:
|λ − a ii | ≤
n∑
j=1,j≠i
|a ij |.
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