Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
5.3.1 Konstruktion von Fixpunktverfahren
Satz 5.21 legt das theoretische Fundament für allgemeine Fixpunkt-Iterationen. Für den
Spektralradius ρ := spr(B) = spr(I − CA) muss gelten ρ < 1. Ziel dieses Abschnittes ist
die Konstruktion von Iterationsmatrizen C, welche
• möglichst Nahe an der Inversen C ≈ A −1 liegen, damit spr(I − CA) ≪ 1,
• eine möglichst einfache Berechnung der Iteration x k = Bx k−1 + c ermöglichen.
Die erste Forderung ist einleuchtend und C = A −1 stellt in diesem Sinne die optimale
Matrix dar. Die zweite Bedingung beschreibt den Aufwand zum Durchführen der Fixpunktiteration.
Wählen wir etwa C = ˜R −1 ˜L−1 so bedeutet jeder Schritt ein Vorwärtsund
ein Rückwärtseinsetzen, d.h. einen Aufwand der Größenordnung O(n 2 ). Hinzu kommen
die O(n 3 ) Operationen zum einmaligen Erstellen der Zerlegung. Die Wahl C = I
erlaubt eine sehr effiziente Iteration mit O(n) Operationen in jedem Schritt und Bedarf
keines zusätzlichen Aufwands zum Erstellen der Iterationsmatrix C. Die Einheitsmatrix
I ist jedoch eine sehr schlechte Approximation von A −1 . Die beiden Forderungen sind
Maximalforderungen und nicht gleichzeitig zu erreichen.
Zur Konstruktion einfacher iterativer Verfahren spalten wir die Matrix A additiv auf zu
A = L + D + R, mit
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
0 . . . 0 a 11 . . . 0 0 a 21 . . . a n1
. a ..
. A = 21 .. . .. . .. .
⎜ .
⎝ . .. .
+
.. ⎟ ⎜ .
+
⎠ ⎝ .. ⎟ ⎜ .
.
⎠ ⎝ .. ⎟ an−1,n ⎠
a n1 . . . a n,n−1 0 0 . . . a nn 0 . . . 0
} {{ } } {{ } } {{ }
=:L
=:D
=:R
Diese additive Zerlegung ist nicht mit der multiplikativen LR-Zerlegung zu verwechseln!
Ist die Matrix A bekannt, so sind auch die additiven Bestandteile L, D, R unmittelbar
verfügbar.
Wir definieren die zwei wichtigsten Iterationsverfahren:
Definition 5.22 (Jacobi-Verfahren). Zur Lösung von Ax = b mit A = L + D + R sei
x 0 ∈ R n ein beliebiger Startwert. Iteriere für k = 1, 2, . . . :
x k = x k−1 + D −1 (b − Ax k−1 ),
bzw. mit der Jacobi-Iterationsmatrix J := −D −1 (L + R)
x k = Jx k−1 + D −1 b.
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