Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
3.6 Approximationstheorie
Bisher haben wir uns im Wesentlichen mit der Interpolation beschäftigt. Die Approximation
ist weiter gefasst: wir suchen eine einfache Funktion p ∈ P (dabei ist der Funktionenraum
P meist wieder der Raum der Polynome), welche die beste Approximation zu
gegebener Funktion f oder zu gegebenen diskreten Daten y i ∈ R darstellt. Der Begriff
beste Approximation ist dabei weit gefasst und wir bezeichnen ihn mit dem minimalen
Abstand von p zu f (oder zu den diskreten Daten). Den Abstand zwischen Funktionen
können wir in Normen messen und die allgemeine Approximationsaufgabe besteht nun im
Auffinden von p ∈ P , so dass
‖f − p‖ = min ‖f − q‖.
q∈P
Die Wahl der Norm ‖ · ‖ ist dabei zunächst beliebig. Es stellt sich jedoch heraus, dass die
mathematische Approximationsaufgabe je nach betrachteter Norm einer sehr unterschiedliche
Vorgehensweise bedarf. Eine spezielle Approximationsaufgabe haben wir bereits kennengelernt:
Bemerkung 3.77 (Lagrange-Interpolation als Approximation). Angenommen, in den
n + 1 paarweise verschiedenen Stützstellen x 0 , x 1 , . . . , x n soll für das Polynom p n ∈ P n
gelten p(x i ) = f(x i ), dann definieren wir die Norm:
|p| n := max
i=0,...,n |p(x i)|.
Man kann zeigen, dass dies wirklich eine Norm auf dem Polynomraum P n ist. Die Approximationsaufgabe:
suche p ∈ P n , so dass
|p − f| n = min
q∈P n
|q − f| n ,
ist gerade die Lagrange-Interpolationsaufgabe.
In diesem Abschnitt werden wir uns hingegen hauptsächlich mit der L 2 -Norm
sowie mit der Maximumsnorm
( ∫ b
‖f‖ L 2 ([a,b] := f(x) 2 dx
a
‖f‖ ∞ := max
x∈[a,b] |f(x)|,
befassen. Die beste Approximation in der L 2 -Norm taucht in der Analysis in Form der
Fourier-Entwicklung in trigonometrischen Polynomen auf, Konvergenz wird hier bezüglich
der L 2 -Norm
‖f − f n ‖ L 2 ([a,b]) → 0 (n → ∞),
) 1
2
,
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