Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2.5 Weitere Verfahren zur Nullstellensuche
also eine Ordnung von etwa 1.6. Die Konstante q hängt wie beim Newton-Verfahren vom
Einzugbereich ab.
In Kombination mit der bereits diskutierten Intervallschachtelung in Abschnitt 2.3 erhalten
wir ein stabilisiertes Verfahren:
Definition 2.24 (Regula falsi). Es sei f eine stetige Funktion auf [a 0 , b 0 ] := [a, b] mit
f(a)f(b) < 0. Eine Approximation von f(x n+1 ) = 0 wird mittels
x n+1 := a n − f(a n)(b n − a n )
f(b n ) − f(a n )
bestimmt. Dann ist das nächste Intervall gegeben durch
⎧
⎪⎨ [a n , x n ] falls f(a n )f(x n ) < 0,
[a n+1 , b n+1 ] = [x n , b n ] falls f(x n )f(b n ) < 0,
⎪⎩
[x n , x n ] falls f(x n ) = 0,
In Worten bedeutet dies, dass das Verfahren approximierende Geraden (Sekanten) bildet,
aber analog zur Intervallschachtelung die Nullstelle durch kleiner werdende Intervalle
einschließt.
Die Konvergenzgeschwindigkeit ist vergleichbar zu den beiden Verfahren durch die die
regula falsi definiert ist.
Sukzessive Approximation
Die sukzessive Approximation basiert auf dem Banachschen Fixpunktsatz. Das Verfahren
eignet sich insbesondere zur Nullstellenbestimmung höherdimensionaler Funktionen.
Daher verweisen wir auf Kapitel 5 für eine ausführliche Diskussion.
Berechnung komplexer Nullstellen
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jedes komplexe Polynom n-ten Grades,
n + 1 Nullstellen. Die bisherigen Verfahren eignen sich nicht zur Berechnung von komplexen
Nullstellen. Entsprechende Verfahren werden in der Literatur diskutiert und für eine
Diskussion im Rahmen dieses Skriptums sei auf die Übungsaufgaben verwiesen.
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