Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Definition 5.23 (Gauß-Seidel-Verfahren). Zur Lösung von Ax = b mit A = L + D + R
sei x 0 ∈ R n ein beliebiger Startwert. Iteriere für k = 1, 2, . . . :
x k = x k−1 + (D + L) −1 (b − Ax k−1 ),
bzw. mit der Gauß-Seidel-Iterationsmatrix H := −(D + L) −1 R
x k = Hx k−1 + (D + L) −1 b.
Diese beiden Fixpunktverfahren sind einfach, aber dennoch sehr gebräuchlich. Zum Aufstellen
der Iterationsmatrix C sind keine Rechenoperationen notwendig. Es gilt:
Satz 5.24 (Durchführung des Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahrens). Ein Schritt des
Jacobi- bzw. Gauß-Seidel-Verfahrens ist jeweils in n 2 + O(n) Operationen durchführbar.
Für jeden Schritt des Jacobi-Verfahren gilt die Index-Schreibweise
⎛
⎞
x k i = 1
n∑
⎝b i − a ij x k−1 ⎠
j , i = 1, . . . , n,
a ii
j=1,j≠i
für das Gauß-Seidel-Verfahren gilt die Vorschrift:
⎛
x k i = 1 ⎝b i − ∑ a ij x k j − ∑ a ii ji
a ij x k−1
j
⎞
⎠ , i = 1, . . . , n.
Beweis: Übung!
□
Jeder Schritt dieser Verfahren benötigt mit O(n 2 ) größenordnungsmäßig genauso viele
Operationen wie die Nachiteration mit der LR-Zerlegung. Bei Jacobi- und Gauß-Seidel
sind jedoch weit schlechtere Konvergenzraten zu erwarten (wenn die Verfahren überhaupt
konvergieren, dieser Nachweis steht hier noch aus!). Der Vorteil der einfachen Iterationsverfahren
zeigt sich erst bei dünn besetzten Matrizen. Hat eine Matrix A ∈ R n×n nur
O(n) Einträge, so benötigt jeder Iterationsschritt nur O(n) Operationen.
5.3.2 Konvergenzkriterium für Jacobi- und Gauß-Seidel-Iteration
Zur Untersuchung der Konvergenz muss gemäß Satz 5.21 der Spektralradius der Iterationsmatrizen
J = −D −1 (L+R) sowie H := −(D +L) −1 R untersucht werden. Im Einzelfall
ist diese Untersuchung nicht ohne weiteres möglich und einer Matrix A kann der entsprechende
Spektralradius nur schwer angesehen werden. Daher leiten wir in diesem Abschnitt
einfach überprüfbare Kriterien her, um eine Aussage über die Konvergenz der beiden Verfahren
treffen zu können. Zunächst gilt:
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