Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2 Nullstellenbestimmung
Bemerkung 2.6 (A priori Fehlerabschätzung). Die in Satz 2.5 angegebene Fehlerabschätzung
|x n − ˆx| ≤ b − a
2 n+1 .
ist eine a priori Fehlerabschätzung, da diese bereits vor der Rechnung angegeben werden
kann.
Abschließend diskutieren wir noch eine a posteriori Fehlerabschätzung, die allerdings die
stetige Differenzierbarkeit von f voraussetzt:
Satz 2.7 (A posteriori Fehlerabschätzung). Es sei f ∈ C 1 [a, b] mit f(a)f(b) < 0 und für
alle x ∈ [a, b] gilt
0 < m ≤ f ′ (x) ≤ M.
Für die Nullstelle ˆx von f und die in Satz 2.5 definierte Folge (x n ) n∈N gilt dann
|f(x n )|
M
≤ |x n − ˆx| ≤ |f(x n)|
m .
Beweis: Wird dem fleißigen Leser als Übungsaufgabe überlassen.
Die a posteriori Fehlerschranke kann als Abbruchkriterium zum Beenden der Intervallschachtelung
genutzt werden, allerdings nur, falls f stetig differenzierbar in [a, b] ist. Unabhängig
davon gibt es im Allgemeinen Fall drei sinnvolle Abbruchkriterien:
• f(x n ) = 0: d.h. die Nullstelle ist exakt gefunden.
• [a n , b n ] < T OL
• n = N 0 : d.h. Angabe einer Maximalanzahl von Iterationsschritten (mit dem Nachteil,
dass die Nullstelle noch nicht genügend genau approximiert worden ist.
Beispiel 2.8. Es sei b − a = 1, dann liefert die a priori Abschätzung
|x 9 − ˆx| < 10 −3 , |x 19 − ˆx| < 10 −6 , |x 29 − ˆx| < 10 −9 .
Das heißt in der 29-ten Iteration kann eine Genauigkeit von T OL = 10 −9 erwartet werden.
Wir halten fest, dass die Intervallschachtelung ein numerisch sehr stabiles Verfahren ist
(d.h. bei Vorzeichenwechsel in [a, b] liefert das Verfahren stets eine Nullstelle - Vorteil!),
allerdings sehr langsam gegen die gesuchte Nullstelle konvergiert (Nachteil!), denn 29 Iterationen
für eine Toleranz von 10 −9 ist nicht besonders empfehlenswert. Zweiter Nachteil
ist, dass gute Zwischenlösungen (je nachdem was das Abbruchkriterium ist) von dem Verfahren
nicht wahrgenommen werden [3], S. 33, siehe praktische Übungen, Blatt 1 sowie
Beispiel 2.7. Aufgrund seiner Stabilität wird das Intervallschachtelungsverfahren häufig
als Startverfahren für andere Verfahren genutzt (siehe auch Abschnitt 2.7). Allerdings ist
die Intervallschachtelung auf reelle Funktionen beschränkt (im Gegensatz zu den weiteren
Verfahren, die wir im Anschluss kennen lernen werden) und das Auffinden doppelter
Nullstellen ist nicht möglich.
□
26