Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2 Nullstellenbestimmung
Bestimmung von λ k für Newton-Verfahren, die zur Lösung von Optimierungsproblemen
genutzt werden (siehe Nocedal/Wright, Numerical Optimization). Oft hilft die einfache
Strategie
λ k,0 = 1, λ k,l+1 = λ k,l
, l = 0, 1, 2, . . . ,
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solange bis für das neue Residuum gilt
|f(x k+1 )| < |f(x k )|.
Dieser Algorithmus wird Line-Search genannt.
2.5 Weitere Verfahren zur Nullstellensuche
Im diesem Abschnitt fassen wir kurz weitere Verfahren zur Nullstellensuche zusammen.
Zum tieferen Verständnis sei auf die angegebene Literatur verwiesen.
Sekantenverfahren
Das Sekantenverfahren gehört zur Klasse der Interpolationsmethoden und hat eine direkte
Verbindung zu dem bereits kennengelernten Newtonverfahren. Geometrisch betrachtet
wird bei dem Newton-Verfahren eine Tangente an die Funktion gelegt, während bei
dem Sekantenverfahren eine Sekante als Approximation zur Ableitung f ′ (x) genutzt wird.
Hierdurch wird die explizite Berechnung von f ′ (x) vermieden. Dies macht Sinn falls f ′ (x)
schwierig/aufwendig zu berechnen ist. Das Sekantenverfahren ist effizienter als die Nullstellenbestimmung
mit Hilfe der Intervallschachtelung und auch einfacher zu realisieren
als die sukzessive Approximation (Banachscher Fixpunktsatz); siehe nächster Abschnitt
sowie Kapitel 5.
Konkret wird bei dem Sekantenverfahren die Ableitung f ′ (x) durch einen Differenzenquotienten
ersetzt, etwa durch
f ′ (x k ) = f(x k) − f(x k−1 )
x k − x k−1
.
Die Iterationsvorschrift erfordert zwei Startwerte x 0 und x 1 , so dass
x k+1 = x k −
x k − x k−1
f(x k ) − f(x k−1 ) f(x k).
Eine wichtige Beobachtung ist, dass die Sekantenmethode unter Umständen zur Auslöschung
im Nenner neigt (zur Auslöschung siehe Kapitel 1). Analog zum Newton-Verfahren
kann eine Analyse mit entsprechender Fehlerabschätzung durchgeführt werden. Hierzu verweisen
wir auf [9], Satz 5.3 auf S. 167. Das Sekanten-Verfahren ist eine Kuriosität, da keine
ganzzahlige Konvergenzordnung bewiesen werden kann. Stattdessen gilt asymptotisch:
|x k − ˆx| ≤ Cq γk k , γk → 1 2 (1 + √ 5) ≈ 1.6818,
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