Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
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Abbildung 3.3: Interpolationspolynome ˜p m (x) ∈ P 2m . Links: das komplette Interpolationsintervall.
Rechts: Ausschnitt nahe y = 0.
Beispiel 3.13. Die Funktion f(x) = |x|, x ∈ [−1, 1] werde mit Hilfe der Lagrange-
Interpolation in den Stützstellen
x k = −1 + kh, k = 0, . . . , 2m, h = 1/m, x ≠ x k
interpoliert. Dies ergibt das globale Verhalten
p m ↛ f(x), m → ∞.
Zwar ist f in diesem Beispiel nicht differenzierbar, dennoch ist dieses Verhalten der
Lagrange-Interpolation auch bei anderen Beispielen zu beobachten. Man betrachte z.B. die
Funktion
f(x) = (1 + x 2 ) −1 , x ∈ [−5, 5].
Wir fassen die bisherigen Ergebnisse zusammen:
Bemerkung 3.14. Der Approximationssatz von Weierstraß besagt, dass jede Funktion
f ∈ C([a, b]) durch ein Polynom beliebig gut approximiert werden kann. Die Analysis gibt
jedoch keine Hilfestellung bei der konkreten Durchführung der Approximation. Die Lagrangesche
Interpolation ist eine Möglichkeit zur Approximation. Die Qualität dieser Approximation
wird jedoch wesentlich durch die Regularität der Daten, also durch f bestimmt.
Eine gleichmäßige Approximation von Funktionen mit Lagrangeschen Interpolationspolynomen
ist im Allgemeinen nicht möglich.
Die Lagrangesche Interpolation “krankt” demnach an den gleichen Einschränkungen der
Taylor-Entwicklung, Satz 3.4. Von der Möglichkeit, eine nur stetige Funktion f ∈ C([a, b])
beliebig gut zu approximieren sind wir noch weit entfernt.
Ein zweiter Nachteil der Lagrange-Interpolation ist die fehlende Lokalität. Eine Störung
von in einer Stützstelle (˜x k , ỹ k ) hat Auswirkung auf alle Lagrange-Polynome und insbesondere
auf das gesamte Interpolationsintervall. Wir betrachten hierzu ein Beispiel:
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