Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.2 Fixpunkt-Iterationen zum Lösen von nichtlinearen Gleichungen
Definition 5.11 (Newton-Verfahren als Defektkorrektur). Wähle Startwert x 0 ∈ R n und
iteriere:
f ′ (x k )δx = d k , d k := −f(x k ),
x k+1 = x k + δx, k = 0, 1, 2, . . . .
Im Folgenden diskutieren wir kurz das Aufstellen der Jacobi-Matrix. Die Funktion f besitzt
n Komponentenfunktionen f i und n unterschiedliche Variablen x 1 , . . . , x n . Jede Änderung
in einer Komponentenfunktion f i bezüglich der Variablen x j wird durch die partielle Ableitung
(Analysis 2) beschrieben:
∂f i
∂x j
.
Letztendlich erhalten wir somit eine n × n Matrix:
⎛
⎞
∂f 1 ∂f 1 ∂f ∂x 1 ∂x 2
. . . n
∂x 1
∂f 2 ∂f 2 ∂f
f ′ ∂x
(x) =
1 ∂x 2
. . . 2
∂x n
⎜ . ⎝ . . .. . ⎟
⎠
∂f n ∂f n ∂f
∂x 1 ∂x 2
. . . n
∂x n
.
5.2.2 Newton-Kantorovich
Die zentrale Konvergenzaussage des Newton-Verfahrens wird im Satz von Newton-Kantorovich
zusammengefasst. Hierzu sei f : G ⊂ R n → R n eine differenzierbare Abbildung. Mit ‖ · ‖
bezeichnen wir stets die euklidische Vektornorm und induzierte Matrixnorm, also die Spektralnorm.
Wir suchen eine Nullstelle z ∈ R n so dass f(z) = 0.
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