Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme
asymptotische Konvergenzaussage aus Satz 5.21 herangezogen werden. Mit ρ := spr(B)
gilt im Grenzfall:
‖x k − x‖ ≈ ρ k ‖x 0 − x‖.
Und bei vorgegebener Toleranz T OL kann die notwendige Zahl an Iterationsschritten
abgeschätzt werden:
( )
‖x k − x‖ < T OL ⇒ k = log T OL
‖x 0 −x‖
.
log(ρ)
Die Toleranz T OL gibt hier an, um welchen Faktor der Anfängliche Fehler ‖x 0 − x‖
reduziert wird. Dieses Vorgehen ist in der praktischen Anwendung wenig hilfreich, da der
Spektralradius ρ der Iterationsmatrix B im Allgemeinen nicht bekannt ist.
Ein alternatives allgemeines Kriterium liefert die Abschätzung aus Satz 4.44 für den Defekt
d k := b − Ax k :
‖x k − x‖
‖x‖
≤ cond(A) ‖b − Axk ‖
.
‖b‖
Hier entsteht jedoch ein ähnliches Problem: die Konditionszahl der Matrix A ist im Allgemeinen
nicht bekannt, so kann auch keine quantitativ korrekte Abschätzung hergeleitet
werden. Dieser einfache Zusammenhang zwischen Defekt und Fehler kann jedoch genutzt
werden um eine relative Toleranz zu erreichen:
Bemerkung 5.35 (Relative Toleranz). Bei der Durchführung von iterativen Lösungsverfahren
werden als Abbruchskriterium oft relative Toleranzen eingesetzt. Die Iteration wird
gestoppt, falls gilt:
‖x k − x‖ ≤ T OL ‖x 0 − x‖.
Als praktisch durchführbares Kriterium werden die unbekannten Fehler durch die Defekte
ersetzt:
‖b − Ax k ‖ ≤ T OL ‖b − Ax 0 ‖.
5.3.5 Abstiegs & Gradientenverfahren
Die bisher kennengelernten Iterationsverfahren zur Approximation von linearen Gleichungssystemen
haben alle den Nachteil, dass die Konstruktion nicht durch einen fundierten Zugang
erfolgt, sondern auf Kontraktionsprinzipien beruht, die von Fall zu Fall untersucht
werden müssen. In diesem abschließenden Abschnitt werden wir zur Vorbereitung von
leistungsfähigeren Verfahren einige Grundlagen entwickeln.
Alle bisherigen Fixpunktiterationen lassen sich allgemeiner in folgender Form schreiben
x k+1 = x k + d k , k = 1, 2, . . . ,
wobei d k in jedem Schritt die Richtung angibt, in der die Lösung verbessert wird. Beim
Jacobi-Verfahren bestimmt sich diese Richtung z.B. als d k = D −1 (b − Ax k ), beim Gauß-
Seidel Verfahren als d k = (D +L) −1 (b−Ax k ). Um diese allgemeine Iteration zu verbessern
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