Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2.2 Stabilität und Kondition
2.2 Stabilität und Kondition
Wir werden zunächst auf die Stabilität und in Bezug auf Kapitel 1 die Konditionierung der
Nullstellensuche eingehen. Als Beispiel seien Polynome zweiten Grades gewählt. Hier liegt
mit der p-q-Formel ein direktes Lösungsverfahren zur Nullstellenberechnung vor. Trotz
dieser auf den ersten Blick einfachen Aufgabe (da sogar exakt lösbar), können numerische
Schwierigkeiten hieran demonstriert werden, die bereits mit logischem Vorstellungsvermögen
einleuchtend sind.
Abbildung 2.1: Die vier möglichen Situationen bei der Nullstellensuche quadratischer
Funktionen: stabile Situation, doppelte Nullstelle, zwei Nullstellen nah beieinander
und keine reellen Nullstellen.
Wir unterscheiden vier Situationen, wie in Abbildung 2.3 skizziert:
1. Stabile Situation: die beiden Nullstellen liegen hinreichend weit auseinander.
2. Doppelte Nullstelle, d.h. f(ˆx) = f ′ (ˆx) = 0: die Berechnung einer doppelten Nullstelle
ist immer schlecht konditioniert, denn durch Rundungsfehler (Kapitel 1) könnte ein
numerisches Verfahren unter Umständen nicht nur die eine einzige Nullstelle finden,
sondern entweder zwei (siehe 3.) oder keine (siehe 4.) Nullstellen liefern.
3. Hinreichend nah beieinander liegende Nullstellen sind numerisch schwierig zu berechnen.
Insbesondere gilt dies, falls mehr als eine einzige Nullstelle gesucht wird.
4. Hier liegen keine reellen Nullstellen vor. Allerdings können wir immer noch komplexe
Nullstellen finden (Fundamentalsatz der Algebra). Die Suche nach komplexen
Nullstellen kann ebenfalls schlecht konditioniert sein. Dies werden aber nicht weiter
betrachten. Eine Beschreibung numerischer Verfahren zur Berechnung komplexer
Nullstellen seien als Übungsaufgabe gestellt.
Beispiel 2.1 (Konditionierung der p-q-Formel). Wir berechnen die Konditionierung der
Nullstellenberechnung mit der p-q-Formel in Abhängigkeit von den Koeffizienten. Dazu sei
f(x) = x 2 − px + q = 0, x ∈ R.
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