Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

1.1 Konditionierung von numerischen Problemen
Rundungsfehler treten bei jeder elementaren Operation auf. Daher kommt der Konditionierung
der Grundoperationen, aus denen alle Algorithmen aufgebaut sind, eine entscheidende
Bedeutung zu:
Beispiel 1.16 (Konditionierung von Grundoperationen, Auslöschung).
1. Addition, Subtraktion: A(x, y) = x + y:
∣ κ A,x =
x
∣∣∣∣ ∣x + y ∣ = 1
1 + y ∣
x
Im Fall x ≈ −y kann die Konditionszahl der Addition (x ≈ y bei der Subtraktion)
beliebig groß werden. Ein Beispiel mit vierstelliger Rechnung:
x = 1.021, y = −1.019 ⇒ x + y = 0.002.
Jetzt sei ỹ = 1.020 gestört. Der relative Fehler in y ist sehr klein: |1.019−1.020|/|1.019| ≤
0.1%. Wir erhalten das gestörte Ergebnis
x + ỹ = 0.001,
und einen Fehler von 100%. Die enorme Fehlerverstärkung bei der Addition von
Zahlen mit etwa gleichem Betrag wird Auslöschung genannt. Hier gehen wesentliche
Stellen verloren. Auslöschung tritt üblicherweise dann auf, wenn das Ergebnis einer
numerischen Operation verglichen mit den Eingabewerten einen sehr kleinen Betrag
hat. Kleine relative Fehler in der Eingabe verstärken sich zu großen relativen Fehlern
im Ergebnis.
2. Multiplikation: A(x, y) = x · y. Die Multiplikation zweier Zahlen ist stets gut konditioniert:
κ A,x =
∣ y x xy ∣ = 1.
3. Division: A(x, y) = x/y. Das selbe gilt für die Division:
1 x
κ A,x =
∣y
∣ = 1, κ x y
A,y =
∣y 2 x
∣ = 1.
x
y
y
4. Wurzelziehen: A(x) = √ x:
∣ κ A,x =
1
∣2 √ x ∣∣∣
√ = 1 x x 2 .
Ein Fehler in der Eingabe wird im Ergebnis sogar reduziert.
Die meisten numerischen Algorithmen bestehen im Kern aus der wiederholten Ausführung
dieser Grundoperationen. Der Aufwand von Algorithmen wird in der Anzahl der notwendigen
elementaren Operationen (in Abhängigkeit von der Problemgröße) gemessen. Die
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