Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
In dem ersten großen Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, wie eine Reihe von
Daten (z.B. aus physikalischen Messungen, experimentelle Beobachtungen, Börse, etc.)
durch eine möglichst einfache Funktion p(x) (z.B. Polynome) angenähert werden kann.
Auf der anderen Seite soll geklärt werden, wie komplizierte Funktionen durch einfachere
Funktionen aus einer bestimmten Klasse (z.B. Raum der Polynome) approximiert werden
können.
Bei der Interpolation wird die approximierende Funktion p derart konstruiert, dass diese
an den vorliegenden (diskreten) Daten exakt ist:
p(x k ) = y k , k = 0, 1, 2, 3, . . . , n.
Die Stützstellen und Stützwerte (x k , y k ) sind entweder diskrete Datenwerte (z.B. von Experimenten)
oder durch Funktionen bestimmt y k = f(x k ). Mit Hilfe der Interpolation p(x)
können bis dato unbekannte Werte an Zwischenstellen ξ ∈ (x k , x k+1 ) oder das Integral
bzw. die Ableitung von p bestimmt werden. Darüberhinaus hat die Interpolation eine wesentliche
Bedeutung zur Entwicklung weiterer numerischer Verfahren, wie beispielsweise
numerische Quadratur, Differentiation oder in weiterführenden Vorlesungen Entwicklung
Finiter Elemente [10].
Die Approximation ist allgemeiner gefasst. Wieder wird eine einfache Funktion p(x) (also
wieder z.B. ein Polynom) gesucht, welche diskrete oder durch Funktionen bestimmte Datenwerte
(x k , y k ) möglichst gut approximiert. Im Gegensatz zur Interpolation wird jedoch
nicht p(x k ) = y k explizit gefordert. Was die Approximation auszeichnet wird von Fall
zu Fall entschieden. Möglich ist z.B. bei der Approximation einer Funktion f die beste
Approximation bzgl. einer Norm
p ∈ P :
‖p − f‖ = min ‖q − f‖,
q∈P
wobei P die Klasse der betrachteten einfachen Funktionen ist (also z.B. alle quadratischen
Polynome). Eine Anwendung der Approximation ist das “Fitten” von diskreten Datenwerten,
welche durch Experimente gegeben sind. Oft werden viele tausend Messwerte berücksichtigt,
die von der zugrundeliegenden (etwa physikalischen) Formel jedoch aufgrund
von statistischen Messfehlern nicht exakt im Sinne der Interpolation, sondern nur approximativ
erfüllt werden sollen. Eine zweite Anwendung ist wieder die möglichst einfache
Darstellung von gegebenen Funktionen.
Beispiel 3.1 (Interpolation: Personen in der Mensa mit einer Stichprobe). Die Studenten,
die Numerik 0 bei Thomas hören, schließen eine Wette gegen die parallel verlaufende
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