Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
n−i Spaltenvektoren ist ein Skalarprodukt (ṽ (i) , ã (i) ) (das sind n−i arithmetische Operationen)
sowie eine Vektoraddition (weitere n − i Operationen) durchzuführen. Insgesamt
ergibt sich so ein Aufwand:
n−1 ∑
N QR = 2 (n − i) + (n − i) 2 = n(n − 1) +
i=1
n(n − 1)(2n − 1)
3
= 2n3
3 + O(n2 ).
□
Bemerkung 4.59 (QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen). Die Householder-
Matrizen ˜S (i) = I − 2ṽ (i) (ṽ (i) ) T werden nicht explizit aufgestellt. Auch kann das Produkt
Q := (S (1) ) T · · · (S (n−1) ) T ,
aus Effizienzgründen nicht explizit berechnet werden. Die Matrix Q steht nur implizit zur
Verfügung durch Speichern der Vektoren ṽ (i) . Mit implizit meint man, dass etwa zur Berechnung
des Produktes ˜b := Q T b (ist notwendig zum Lösen der Gleichungssysteme) die
Householder-Transformationen erneut Schritt für Schritt angewendet werden müssen:
˜b = Q T b = S (n−1) · · · S (1) b.
Jedes Produkt wird mittels der Vorschrift (4.7) berechnet, ohne dass die Matrizen S (i)
explizit aufgestellt werden:
b (i+1) = b (i) − 2(v (i) , b (i) )v (i) .
Neben der oberen Dreiecksmatrix R müssen die Vektoren ṽ (i) ∈ R n−i gespeichert werden.
Im Gegensatz zur LR-Zerlegung kann dies nicht alleine im Speicherplatz der Matrix A
geschehen, da sowohl R als auch die ṽ (i) die Diagonale besetzen. Bei der praktischen
Realisierung muss ein weiterer Diagonalvektor vorgehalten werden.
Abschließend berechnen wir die QR-Zerlegung zu Beispiel 4.54 mit Hilfe der Householder-
Transformationen:
Beispiel 4.60 (QR-Zerlegung mit Householder-Transformationen). Wir betrachten wieder
die Matrix:
⎛
⎞
1 1 1
⎜
⎟
A := ⎝0.01 0 0.01⎠ ,
0 0.01 0.01
und führen alle Rechnungen mit dreistelliger Genauigkeit durch. Wir wählen mit a 1 =
(1, 0.01, 0) T und ‖a 1 ‖ ≈ 1 den ersten Vektor zur Spiegelung als:
⎛ ⎞
v (1) = a 1
1 + ‖a 1 ‖e 1
‖a 1 + ‖a 1 ‖e 1 ‖ ≈ ⎜ ⎟
⎝0.005⎠ .
0
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