Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.2 Spline Interpolation
y i−1
p
y i
f(x)
I i
a = x 0 x i−1 x i b = x n
Abbildung 3.5: Stückweise lineare Interpolation p einer Funktion f.
in den Stützstellen x i , i = 0, . . . , n:
mit den Interpolationsbedingungen
p ∈ S 1,0
h [a, b] = {p ∈ C[a, b], p| I i
∈ P 1 (I i )},
p(x i ) = f(x i ), i = 0, . . . , n.
Anwendung der Fehlerabschätzung für die Lagrange-Interpolation separat auf jedem I i liefert
die globale Fehlerabschätzung
Für Schrittweite gilt
max |f(x) − p(x)| ≤ 1
x∈[a,b] 2 h2 max |f ′′ (x)|. (3.6)
x∈[a,b]
max |f(x) − p(x)| → 0 (h → 0),
x∈[a,b]
gleichmäßig auf dem gesamten Intervall. Im Gegensatz hierzu erhalten wir für n → ∞
also für größer werdenden Polynomgrad keine gleichmäßige Konvergenz!
Bemerkung 3.18. Wir halten fest, dass eine gleichmäßige Approximation für Splines
durch (3.6) gewährleistet ist, falls h → 0 (d.h. eine immer größer werdende Anzahl von
Stützstellen). Es ist wichtig, dass eine größere Anzahl von Stützstellen bei der Lagrange-
Interpolation nicht hilft, da hier die Anzahl Stützstellen an den Polynomgrad gekoppelt
sind. D.h. eine größere Anzahl von Stützstellen impliziert automatisch einen höheren Polynomgrad.
Allerdings können höhere Ableitungen der zu interpolierenden Funktion f starkes
Wachstum haben, wodurch die gleichmäßige Fehlerabschätzung in (3.5) nichtig wird.
Die Interpolierende des vorangegangenen Beispiels wird mit Hilfe der sogenannten Knotenbasis
von S (1,0)
h
([a, b]) konstruiert. Diese Knotenbasis besteht aus den Hutfunktionen
φ i ∈ S (1,0)
h
[a, b], i = 0, . . . , n, die durch die Bedingung
φ i (x j ) = δ ij
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