Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
zu den Stützstellen x 0 , . . . , x n ∈ [a, b] nach Konstruktion mindestens von der Ordnung
n + 1. D.h.:
I(p) = I (n) (p) ∀p ∈ P n .
Wir haben jedoch mit der Mittelpunktsregel n = 0 und der Simpsonregel n = 2 bereits
Quadraturformeln kennengelernt, die exakt sind für alle Polynome P n+1 , die also von der
Ordnung n + 2 sind.
Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Frage, ob die Ordnung mit anderen bisher noch
nicht kennengelernten Methoden weiter erhöht werden kann. Bisher lag die Freiheit lediglich
in der Wahl des Polynomgrads und somit in der Anzahl der Stützstellen. Die
Frage nach der optimalen Verteilung der Stützstellen im Intervall [a, b] wurde bisher nicht
untersucht. In diesem Abschnitt werden wir mit der Gauß-Quadratur interpolatorische
Quadraturformeln kennenlernen, welche durch optimale Positionierung der Stützstellen
die maximale Ordnung 2n + 2 erreichen.
Satz 3.53 (Ordnungsbarriere der Quadratur). Eine interpolatorische Quadraturformel zu
n + 1 Stützstellen kann höchstens die Ordnung 2n + 2 haben.
Beweis: Angenommen I (n) (·) mit den Stützstellen x 0 , . . . , x n wäre von höherer Ordnung,
insbesondere exakt für Polynome P 2n+2 , also für
n∏
p(x) = (x − x j ) 2 ∈ P 2n+2 .
j=0
Die eindeutige Interpolierende p n ∈ P n mit p n (x i ) = p(x i ) = 0 hat n + 1 Nullstellen und
stellt somit die Nullfunktion dar. Dies ergibt einen Widerspruch:
0 <
∫ b
a
p(x) dx = I (n) (p) = I (n) (p n ) = 0.
□
Im Folgenden untersuchen wir interpolatorische Quadraturregeln genauer und versuchen
Bedingungen herzuleiten, unter denen die höchst mögliche Ordnung 2n + 2 wirklich erreicht
werden kann. Wir müssen demnach eine Quadraturformel in n + 1 Stützstellen
finden, welche exakt ist für alle Polynome aus P 2n+1 . Hierzu wählen wir zunächst eine
Quadraturformel mit den 2n + 2 Stützstellen x 0 , x 1 , . . . , x n , x n+1 , . . . , x 2n+1 . Von dieser
wissen wir, dass sie auf jeden Fall der Ordnung 2n + 2 ist. Es gilt in Newtonscher Darstellung
des Interpolationspolynoms
2n+1
I(f) − I 2n+1 ∑
∫ b
(f) = I(f) − f[x 0 , . . . , x i ]
i=0
= I(f) − I n (f) −
2n+1 ∑
i=n+1
a
i−1 ∏
j=0
f[x 0 , . . . , x i ]
(x − x j ) dx
∫ b i−1 ∏
a
j=0
(x − x j ) dx,
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