Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6.4 Ein Beispiel
Die Jacobi-Matrizen ergeben sich zu
im Fall von n = 4 und
⎛
⎞
1 0 0 0 0
16 −32 16 0 0
A 4 :=
0 16 −32 16 0
,
⎜
⎟
⎝ 0 0 16 −32 16⎠
0 0 0 0 1
⎛
⎞
1 0 0 0 0 0 0 0 0
64 −128 64 0 0 0 0 0 0
0 64 −128 64 0 0 0 0 0
A 8 0 0 64 −128 64 0 0 0 0
:=
0 0 0 64 −128 64 0 0 0
,
0 0 0 0 64 −128 64 0 0
0 0 0 0 0 64 −128 64 0
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 0 0 0 64 −128 64⎠
0 0 0 0 0 0 0 0 1
im Fall n = 8. Für die Konditionszahlen gilt cond 2 (A 4 ) ≈ 90 und cond 2 (A 8 ) ≈
500. Die Matrizen sind Tridiagonal-Matrizen. Das LGS kann z.B. sehr effizient mit
der LR-Zerlegung für Bandmatrizen, in diesem Fall mit dem Thomas-Algorithmus
(Satz 4.37) gelöst werden. Für y 0 = 0 erfüllen darüber hinaus beide Matrizen das
schwache Zeilensummenkriterium (siehe Satz 5.28), d.h., Jacobi- sowie Gauß-Seidel-
Verfahren könnten ebenso eingesetzt werden. Wir wählen hier den direkten Löser.
Wir berechnen das Update:
A(y 1 − y 0 ) = −F (y 0 ),
ohne die Zwischenschritte hier anzugeben.
• Schritt 2: es gilt:
‖F 4 (y 1 )‖ 2 ≈ 1.63, ‖F 8 (y 1 )‖ 2 ≈ 2.38
• Schritt 3: es gilt:
‖F 4 (y 2 )‖ 2 ≈ 0.22, ‖F 8 (y 2 )‖ 2 ≈ 0.73
• Schritt 4: es gilt:
‖F 4 (y 3 )‖ 2 ≈ 0.01, ‖F 8 (y 3 )‖ 2 ≈ 0.21
• Schritt 5: es gilt:
‖F 4 (y 4 )‖ 2 ≈ 10 −10 , ‖F 8 (y 4 )‖ 2 ≈ 0.015
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