Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.5 Numerische Integration
gilt wie in der Einleitung zur Gauß-Quadratur:
2n+1 ∑
i−1 ∏
f[x 0 , . . . , x i ]
p 2n+1 (x) =
(x − x i )
i=0
j=0
2n+1 ∑
n∏
i−1 ∏
= p n (x) + f[x 0 , . . . , x i ] (x − x j ) (x − x j ) .
i=n+1
j=0
j=n+1
} {{ } } {{ }
=p n+1 =q∈P n
Aufgrund der angenommenen Orthogonalität von p n+1 auf q ∈ P n folgt, dass bereits durch
Integration von p n eine Quadraturformel der Ordnung 2n + 2, also eine Gauß-Quadratur
gegeben ist.
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Diese beiden Sätze besagen, dass die Charakterisierung von Gauß’schen Quadraturregeln
durch Nullstellen orthogonaler Polynome eindeutig ist. Zum Abschluss müssen wir noch
zeigen, dass überhaupt orthogonale Polynome zu beliebiger Stützstellenzahl n existieren,
und dass diese Polynome auch reelle Nullstellen haben!
Satz 3.58. Es existiert eine eindeutige Folge (p n ) n von Polynomen p n ∈ P n mit
p 0 (x) ≡ 1,
p n (x) = x n + r n−1 (x), n = 1, 2, . . . ,
mit r n−1 ∈ P n−1 , die die Orthogonalitätsbeziehung
∫ 1
−1
p n (x)p m (x) dx = 0, 0 ≤ m < n,
erfüllen. Durch {p k , k = 0, . . . , n} ist dann eine Orthogonalbasis des P n gegeben.
Beweis: Die Aussage folgt unter Ausnutzung des Satzes von Gram-Schmidt für die Monombasis
{1, x, x 2 , . . . } von P n+1 [a, b], Satz 4.51 Mit
p 0 := 1, k = 1, . . . , n + 1
k−1
p k (x) := x k ∑
−
j=0
(x k , p j )
‖p j ‖ 2 p j(x),
wird dann {p 0 , . . . , p n+1 } ein Orthogonalsystem in P n+1 [a, b], unter Ausnutzung des L 2 -
Skalarprodukts
(f, g) L 2 ([−1,1]) :=
∫ 1
−1
f(x)g(x) dx.
Denn vollständigen Beweis des Gram-Schmidt-Algorithmus werden wir später nachtragen.
Die spezielle Version findet der Leser in [9], S. 87.
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