Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.1 Grundlagen der linearen Algebra
Bei der Untersuchung von linearen Gleichungssystemen Ax = b stellt sich zunächst die
Frage, ob ein solches Gleichungssystem überhaupt lösbar ist und ob die Lösung eindeutig
ist. Wir fassen zusammen:
Satz 4.10 (Reguläre Matrix). Für eine quadratische Matrix A ∈ R n×n sind die folgenden
Aussagen äquivalent:
1. Die Matrix A ist regulär .
2. Die transponierte Matrix A T ist regulär.
3. Die Inverse A −1 ist regulär.
4. Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist für jedes b ∈ R n eindeutig lösbar.
5. Es gilt det(A) ≠ 0.
6. Alle Eigenwerte von A sind ungleich Null.
Wir definieren weiter:
Definition 4.11 (positiv definit). Eine Matrix A ∈ K n×n heißt positiv definit, falls
(Ax, x) > 0 ∀x ≠ 0.
Umgekehrt können wir aus der definierenden Eigenschaft der positiven Definitheit einer
Matrix ablesen: falls A positiv definit ist, so ist durch (A·, ·) ein Skalarprodukt gegeben.
Es gilt:
Satz 4.12 (Positiv definite Matrizen). Es sei A ∈ R n×n eine symmetrische Matrix. Dann
ist A genau dann positiv definit, falls alle (reellen) Eigenwerte von A positiv sind. Dann
sind alle Diagonalelemente von A positiv und das betragsmäßig größte Element steht auf
der Diagonalen.
Beweis: (i) Es sei A eine symmetrische Matrix mit einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
w 1 , . . . , w n . A sei positiv definit. Dann gilt für beliebigen Eigenvektor w i mit
Eigenwert λ i :
0 < (Aw i , w i ) = λ i (w i , w i ) = λ i .
Umgekehrt seien alle λ i positiv. Für x = ∑ n
i=1 α i w i gilt:
(Ax, x) = ∑ (λ i α i ω i , α j ω j ) = ∑
i,j
i
λ i α 2 i > 0.
(ii) A sei nun eine reelle, positiv definite Matrix. Es sei e i der i-te Einheitsvektor. Dann
gilt:
0 < (Ae i , e i ) = a ii .
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