Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.3 Nachiteration
Jetzt folgt durch Einschieben von ±ŵ sowie ±w in den Fehler ‖x − (˜x + ˜w)‖:
‖x − (˜x + ˜w)‖ ≤ ‖x − (˜x + ŵ)‖ + ‖ŵ − w‖ + ‖w − ˜w‖
} {{ } } {{ } } {{ }
=0 wegen (4.5) (4.6) (4.4)
≤ ɛ 2 cond(A) 2 ‖ŵ‖ + ɛ cond(A)‖w‖
≤ ɛ cond(A) ( )
ɛ cond(A)‖ŵ‖ + ‖ŵ‖ + ‖w − ŵ‖
} {{ }
(4.6)
≤ ɛ cond(A) ( 1 + ɛ cond(A) + ɛ 2 cond(A) 2) ‖ŵ‖
≤ ɛc(A)‖x − ˜x‖,
mit c(A) := cond(A)(1 + ɛ cond(A) + ɛ 2 cond(A) 2 ). Das Ergebnis mit Teilen durch ‖x‖. □
Durch einen Nachiterationsschritt kann der Fehler um den Faktor ɛc(A) reduziert werden.
Die Konstante c(A) hängt dabei allerdings sehr ungünstig von der oft sehr großen Konditionszahl
der Matrix ab. Die Nachiteration ist ein universelles Prinzip und nicht auf die
LR-Zerlegung beschränkt. Dennoch definieren wir für diese:
Algorithmus 4.46 (Nachiteration). Es sei A ∈ R n×n eine reguläre Matrix und b ∈ R n .
Zur Lösung von Ax = b:
1. Erstelle LR-Zerlegung von A mit einfacher Genauigkeit
LR = P A.
2. Setze d (1) = b sowie x (1) = 0 und iteriere für i = 1, 2, . . . :
(i) Ly (i) = P d (i) mit einfacher Genauigkeit
(ii) Rw (i) = y (i) mit einfacher Genauigkeit
(iii) x (i+1) = x (i) + w (i) mit doppelter Genauigkeit
(iv) d (i+1) = b − Ax (i+1) mit doppelter Genauigkeit
Der Vorteil der Nachiteration liegt in der mehrfachen Verwendung der erstellten LR-
Zerlegung. Zur Berechnung der LR-Zerlegung sind O(n 3 ) Operationen notwendig, während
zum Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen, sowie zur Berechnung des Defektes nur O(n 2 )
Operationen benötigt werden. D.h., selbst bei Verwenden höherer Genauigkeit ist der
Aufwand in Schritt 2.(iii) des Verfahrens klein im Vergleich zu Schritt 1.
Die Annahme, dass zum Erstellen der LR-Zerlegung mit geringerer Genauigkeit gerechnet
wird, also zur Defektberechnung ist nicht unrealistisch. Der Speichertyp float von einfacher
Genauigkeit benötigt zur Speicherung einer Zahl nur den halben Speicher verglichen
mit double. Gerade bei sehr großen Matrizen n ≫ 1 000 000 spielt der Speicherbedarf eine
wesentliche Rolle. Darüber hinaus unterscheidet moderne Hardware (z.B. GPU’s) zwischen
der Rechnung mit doppelter und einfacher Genauigkeit, deren Operationen oft weit
schneller durchgeführt werden können.
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