Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

5 Numerische Iterationsverfahren
Satz 5.12 (Newton-Kantorovich). Es sei D ⊂ R n eine offene und konvexe Menge. Weiterhin
sei f : D ⊂ R n → R n stetig-differenzierbar.
(i) Die Jacobi-Matrix f ′ sei gleichmäßig Lipschitz-stetig für alle x, y ∈ D:
‖f ′ (x) − f ′ (y)‖ ≤ γ‖x − y‖, x, y ∈ D. (5.4)
(ii) Weiter habe die Jacobi-Matrix auf D eine gleichmäßig beschränkte Inverse
(iii) Es gelte für den Startpunkt x 0 ∈ D:
(iv) Für r := 2α ist die abgeschlossene Kugel
‖f ′ (x) −1 ‖ ≤ β, x ∈ D. (5.5)
q := αβγ < 1 2 , α := ‖f ′ (x 0 ) −1 f(x 0 )‖. (5.6)
B r (x 0 ) := {x ∈ R n : ‖x − x 0 ‖ ≤ r}
in der Menge D enthalten.
Dann besitzt die Funktion f eine Nullstelle z ∈ B r (x 0 ) und die Newton-Iteration
f ′ (x k )δx = d k , d k := −f(x k ),
x k+1 = x k + δx, k = 0, 1, 2, . . . .
konvergiert quadratisch gegen diese Nullstelle z. Darüber hinaus gilt die a priori Fehlerabschätzung
‖x k − z‖ ≤ 2αq 2k −1 , k = 0, 1, . . . .
Beweis: Der Beweis zum Satz ist weitaus aufwändiger als im eindimensionalen Fall, daher
geben wir zunächst eine Skizze an:
(i) Herleitung von Hilfsabschätzungen.
(ii) Alle Iterierten liegen in der Kugel B r (x 0 ) und es gilt die a priori Fehlerabschätzung
für ‖x k − x 0 ‖ (Beweis über vollständige Induktion).
(iii) Zeige (x k ) k∈N ist Cauchy-Folge und hat damit in R n einen eindeutigen Grenzwert z.
(iv) Existenz einer Nullstelle: Zeige, dass z eine Nullstelle der Funktion f ist.
(v) Eindeutigkeit: Zeige, dass die Nullstelle z eindeutig ist.
Nun zum ausführlichen Beweis:
(i) Herleitung von Hilfsabschätzungen:
Es seien x, y, z ∈ D. Da D konvex ist, gilt für alle x, y ∈ D:
f j (x) − f j (y) =
∫ 1
0
d
ds f j(sx + (1 − s)y) ds, j = 1, . . . , n.
188