Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme
4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen
Satz 4.28 besagt, dass die LR-Zerlegung für beliebige reguläre Matrizen mit Pivotierung
möglich ist. Es gibt allerdings auch viele Matrizen, bei denen die LR-Zerlegung ohne
Pivotisierung stabil durchführbar ist. Beispiele hierfür sind positiv definite oder diagonaldominante
Matrizen:
Definition 4.31 (Diagonaldominanz). Eine Matrix A ∈ R n×n heißt diagonaldominant,
falls
|a ii | ≥ ∑ |a ij |, i = 1, . . . , n.
j≠i
Eine diagonaldominante Matrix hat das betragsmäßig größte Element auf der Diagonalen,
bei regulären Matrizen sind die Diagonalelemente zudem ungleich Null.
Satz 4.32 (LR-Zerlegung diagonaldominanter Matrizen). Sei A ∈ R n×n eine reguläre,
diagonaldominante Matrix. Dann ist die LR-Zerlegung ohne Pivotierung durchführbar und
alle auftretenden Pivot-Elemente a (i−1)
ii sind von Null verschieden.
Beweis: Wir führen den Beweis über Induktion und zeigen, dass alle Untermatrizen A (i)
kl>i
wieder diagonaldominant sind. Für eine diagonaldominante Matrix gilt
|a 11 | ≥ ∑ |a 1j | ≥ 0,
j>1
und da A regulär ist auch zwingend |a 11 | > 0. Der erste Schritt der LR-Zerlegung ist
durchführbar.
Es sei nun A eine reguläre Matrix, wir wollen zeigen, dass die Matrix à nach einem
Eliminationsschritt eine diagonaldominante Untermatrix Ãij>1 hat. Für deren Einträge
ã ij gilt:
ã ij = a ij − a i1a 1j
, i, j = 1, . . . , n.
a 11
Also gilt für die Untermatrix:
n∑
n∑
i = 2, . . . , n : |ã ij | ≤ |a ij | −|a i1 | + |a i1|
n∑
|a 1j | − |a i1|
|a 11 | |a 11 | |a 1i|
j=2, j≠i
j=1, j≠i
} {{ }
≤|a ii |
Die resultierende Matrix ist wieder diagonaldominant.
j=2
} {{ }
≤|a 11 |
≤ |a ii | − |a i1|
|a 11 | |a 1i| ≤ |a ii − a i1
a 11
a 1i | = |ã ii |.
Die Definition der Diagonaldominanz scheint zunächst willkürlich. Es zeigt sich aber, dass
viele Matrizen, die in Anwendungen, zum Beispiel bei der Diskretisierung von partiellen
Differentialgleichungen auftreten, diese Eigenschaft erfüllen. Zudem ist die Diagonaldominanz
einer Matrix sehr einfach zu überprüfen und daher ein gutes Kriterium um die
Notwendigkeit der Pivotierung abzuschätzen.
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