Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.4 Richardson Extrapolation zum Limes
Dieses Ergebnis ist gegenläufig zur Fehlerabschätzung für den Differenzenquotienten (3.7).
Bei der numerischen Approximation müssen beide Fehleranteile addiert werden:
|f ′ (x 0 ) − ˜p ′ (x 0 )|
|f ′ (x 0 )|
≤ |f ′ (x 0 ) − p ′ (x 0 )|
|f ′ (x 0 )|
+ |p′ (x 0 ) − ˜p ′ (x 0 )|
|f ′ (x 0 )|
≤ 1 3 h2 + O(h 4 ) + max ξ |f(ξ)|
|f ′ (x 0 )|h eps + O(eps2 ).
Für kleines h steigt der Rundungsfehleranteil. Der Gesamtfehler wird minimal, falls beide
Fehleranteile balanciert sind, also im Fall:
h 2 ≈ eps
h
⇒
h ≈ 3√ eps.
3.4 Richardson Extrapolation zum Limes
Eine wichtige Anwendung der Interpolation ist die Extrapolation zum Limes. Die Idee lässt
sich am einfachsten anhand eines Beispiels erklären. Wir wollen die Ableitung f ′ (x 0 ) einer
Funktion f im Punkt x 0 mit Hilfe des einseitigen Differenzenquotienten berechnen:
a(h) := f(x 0 + h) − f(x 0 )
.
h
Der Schrittweitenparameter h bestimmt die Qualität der Approximation a(h) ≈ f ′ (x 0 ).
Für h → 0 gilt (bei Vernachlässigung von Rundungsfehlern) a(h) → f ′ (x 0 ). An der Stelle
h = 0 lässt sich a(h) jedoch nicht auswerten. Die Idee die Extrapolation zum Limes ist es
nun, ein Interpolationspolynom p(x) durch die Stützstellenpaare (h i , a(h i )) für eine Folge
von Schrittweiten h 0 , h 1 , . . . , h n zu legen und den Wert p(0) als Approximation für a(0)
zu verwenden.
Es stellt sich die grundlegende Frage: hat die Interpolierende in den Stützstellen h 0 , . . . , h n
auch Aussagekraft außerhalb des Intervalls I := [min i h i , max i h i ]? Beispiel 3.15 lässt dies
zunächst nicht vermuten. Hier war die Approximationseigenschaft durch Oszillationen in
Punkten zwischen den Stützstellen schon am Rande des Intervalls I stark gestört. Wir
betrachten dennoch ein einfaches Beispiel:
Beispiel 3.29 (Extrapolation des einseitigen Differenzenquotienten). Zu f ∈ C 3 ([a, b])
sei
a(h) = f(x 0 + h) − f(x 0 )
h
= f ′ (x 0 ) + h 2 f ′′ (x 0 ) + h2
6 f ′′′ (ξ x0 ,h), (3.8)
die einseitige Approximation der ersten Ableitung. Wir legen durch die Stützstellen (h, a(h))
sowie (h/2, a(h/2)) das lineare Interpolationspolynom,
p(t) =
( ) ( )
t −
h
( )
2
t − h h
h − h a(h) +
h
2
2 − h a ,
2
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