Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Mit unterschiedlichen Skalarprodukten existieren unterschiedliche Orthonormalbasen zu
ein und demselben Vektorraum V . Orthogonalität stimmt dann im Allgemeinen nicht mit
dem geometrischen Orthogonalitätsbegriff des euklidischen Raums überein:
Beispiel 4.8 (Skalarprodukte und Orthonormalbasis). Es sei V = R 2 . Durch
(x, y) 2 := x 1 y 1 + x 2 y 2 , (x, y) ω = 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 ,
sind zwei verschiedene Skalarprodukte gegeben. Das erste ist das euklidische Skalarprodukt.
Die Skalarprodukteigenschaften des zweiten sind einfach zu überprüfen. Durch
x 1 = 1 √
2
(1, 1) T , x 2 = 1 √
2
(−1, 1) T ,
ist eine Orthonormalbasis bezüglich (·, ·) 2 gegeben. Es gilt jedoch:
(x 1 , x 2 ) ω = 1 1
(2 − 1) = √ ≠ 0.
2 2
Eine Orthonormalbasis erhalten wir z.B. durch
x 1 = 1 √
3
(1, 1) T , x 2 = 1 2 (−1, 2)T ,
Orthonormalbasen werden für zahlreiche numerische Verfahren benötigt, bei der Gauß’schen
Quadratur, bei der Gauß-Approximation von Funktionen und z.B. für die QR-Zerlegung
einer Matrix.
Wir betrachten nun den Vektorraum aller R n×m -Matrizen. Auch dieser Vektorraum ist
endlich-dimensional und prinzipiell können wir den Vektorraum der n × m-Matrizen mit
dem Vektorraum der (nm)-Vektoren identifizieren. Von besonderem Interesse ist für uns
der Vektorraum der quadratischen R n×n -Matrizen:
Definition 4.9 (Eigenwerte, Eigenvektoren). Die Eigenwerte λ einer Matrix A ∈ R n×n
sind definiert als Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
det(A − λI) = 0.
Die Menge aller Eigenwerte einer Matrix heißt das Spektrum
σ(A) := {λ ∈ C, λ Eigenwert von A}.
Der Spektralradius spr : R n×n → R + ist der betragsmäßig größte Eigenwert:
spr(A) := max{|λ|, λ ∈ σ(A)}.
Ein Element w ∈ R n heißt Eigenvektor zu Eigenwert λ, falls gilt:
Aw = λw.
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